一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数
$$
u(x, y)=\phi(x+y)+\phi(x-y)+\int_{x-y}^{x+y} \psi(t) \mathrm{d} t ，
$$
其中函数 $\phi$ 具有二阶导数， $\psi$ 具有一阶导数，则必有
$\text{A.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}=0$
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left[f_x^{\prime}(x, 0)-f_x^{\prime}(0,0)\right]=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0}\left[f_y^{\prime}(0, y)-f_y^{\prime}(0,0)\right]=0$
设函数 $f$ 连续，若 $F(u, v)=\iint_{D_{u v}} \frac{f\left(x^2+y^2\right)}{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
\begin{aligned}
& D_{u v}: x^2+y^2=1, x^2+y^2=u^2, y=0, y=x \arctan v \\
& (u>1, v>0) \text { ，则 } \frac{\partial F}{\partial u}=
\end{aligned}
$$
$\text{A.}$ $v f\left(u^2\right)$
$\text{B.}$ $\frac{v}{u} f\left(u^2\right)$
$\text{C.}$ $v f(u)$
$\text{D.}$ $\frac{v}{u} f(u)$
设函数 $f$ 连续，若 $F(u, v)=\iint_{D_{u v}} \frac{f\left(x^2+y^2\right)}{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D_{u v}: x^2+y^2=1, x^2+y^2=u^2, y=0, y=v x$ $(u>1, v>0)$ ，则 $\frac{\partial F}{\partial u}=$
$\text{A.}$ $v f\left(u^2\right)$
$\text{B.}$ $\frac{v}{u} f\left(u^2\right)$
$\text{C.}$ $v f(u)$
$\text{D.}$ $\frac{v}{u} f(u)$
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$ 确定, 其中 $F$ 为可微函数, 且 $F_2^{\prime} \neq 0$, 则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$
$\text{A.}$ ${x}$
$\text{B.}$ $z$
$\text{C.}$ $-x$
$\text{D.}$ $-z$
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$ 确定，其中 $\boldsymbol{F}$ 为可微函数,且 $F_2^{\prime} \neq 0$ ，则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$
$\text{A.}$ $x$
$\text{B.}$ $z$
$\text{C.}$ $-x$
$\text{D.}$ $-z$
二、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z=e^{2 x-3 z}+2 y$ 确定，则 $3 \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$
设函数 $f(u, v)$ 由关系式 $f[x g(y), y]=x+g(y)$ 确定，其中函数 $g(y)$ 可微，且 $g(y) \neq 0$ ，则 $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}=$
设 $f(u, v)$ 为二元可微函数， $z=f\left(x^y, y^x\right)$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
设 $f(u, v)$ 是二元可微函数， $z=f\left(\frac{y}{x}, \frac{x}{y}\right)$ ，则
$$
x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y}=
$$
设 $f(u, v)$ 是二元可微函数， $z=f\left(\frac{y}{x}, \frac{x}{y}\right)$ ，则 $x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y}=$
设 $z=\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{x}{y}}$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)}=$
设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数， $z=f(x, x y)$ ，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
设 $z=\left(x+e^y\right)^x$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=$
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^{-t}, \\ y=\int_0^t \ln \left(1+u^2\right) \mathrm{d} u\end{array}\right.$ ，求 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=0}=$
三、解答题 （ 共 25 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $z=f\left(\mathrm{e}^{x} \sin y, x^{2}+y^{2}\right)$, 其中 $f$ 具有二阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.
设 $z=x^3 f\left(x y, \frac{y}{x}\right), f$ 具有连续二阶偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} 及 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设变换 $\left\{\begin{array}{l}u=x-2 y, \\ v=x+a y\end{array}\right.$ 可把方程 $6 \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ 简化为 $\frac{\partial^{2} z}{\partial u \partial v}=0$, 求常数 $a$. (这里应假设 $z$ 有二阶连续偏导数. )
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y-x e^y=1$ 所确定，求 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}$ 的值.
设 $z=f(x, y)$ 是由方程 $z-y-x+x e^{z-y-x}=0$ 所确定的二元函数，求 $\mathrm{d} z$.
设某产品的成本函数为 $C=a q^2+b q+c$ ，需求函数为 $q=\frac{1}{e}(\mathrm{~d}-p)$ ，其中 $C$ 为成本， $q$ 为需求量(即产量)， $p$为单价， $a, b, c, d, e$ 都是正的常数，且 $\mathrm{d}>b$ ，求:
(1) 利润最大时的产量及最大利润;
(2) 需求对价格的弹性;
(3) 需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量.
已知 $f(x, y)=x^2 \arctan \frac{y}{x}-y^2 \arctan \frac{x}{y}$ ，求 $\frac{\partial^2 y}{\partial x \partial y}$.
设生产某种产品必须投入两种要素， $x_1$ 和 $x_2$ 分别为两要素的投入量， $Q$ 为产出量；若生产函数为 $Q=2 x_1^\alpha x_2^\beta$ ，其中 $\alpha, \beta$ 为正常数，且 $\alpha+\beta=1$. 假设两种要素的价格分别为 $p_1$ 和 $p_2$ ，试问: 当产出量为 12 时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最少?
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+g\left(\frac{x}{y}\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数， $g$ 具有二阶连续导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
已知 $z=u^v, u=\ln \sqrt{x^2+y^2}, v=\arctan \frac{y}{x}$ ，求 $\mathrm{d} z$
假设某企业在两个相互分割的市场上出手同一种产品，两个市场的需求函数分别是
$$
p_1=18-2 Q_1, p_3=12-Q_2 \text { ， }
$$
其中 $p_1, p_2$ 分别表示该产品在两个市场的价格 (单位: 万元顿)， $Q_1$ 和 $Q_2$ 分别表示该产品在两个市场的销售量 (即需求量，单位：顿），并且该企业生产这种产品的总成本函数是 $C=2 Q+5$ ，其中 $Q$ 表示该产品在两个市场的销售总量，即
$$
Q=Q_1+Q_2
$$
(1) 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润;
(2) 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.
设有一小山，取它的底面所在的平面为 $x O y$ 坐标面，其底部所占的区域为 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2-x y \leq 75\right\}$ ，小山的高度函数为 $h(x, y)=75-x^2-y^2+x y$.
(1) 设 $M\left(x_0, y_0\right)$ 为区域 $D$ 上一点，问 $h(x, y)$ 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为 $g\left(x_0, y_0\right)$ ，试写出 $g\left(x_0, y_0\right)$ 的表达式.
(2) 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在 $D$ 的边界线 $x^2+y^2-x y=75$ 上找出使(1)中的 $g(x, y)$ 达到最大值的点. 试确定攀登起点的位置.
设某商品需求量 $Q$ 是价格 $p$ 的单调减少函数: $Q=Q(p)$ ，其需求弹性为 $\eta=\frac{2 p^2}{192-p^2}>0$.
(1) 设 $R$ 为总收益函数，证明: $\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} p}=Q(1-\eta)$.
（2）求 $p=6$ 时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义.
设 $z=z(x, y)$ 是由 $x^2-6 x y+10 y^2-2 y z-$ $z^2+18=0$ 确定的函数，求 $z=z(x, y)$ 的极值点和极值.
设 $z=f\left(x^2-y^2, e^{x y}\right)$ ，其中 $f$ 具有连续二阶偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设 $f(u)$ 具有二阶连续导数，且 $g(x, y)=f\left(\frac{y}{x}\right)+y f\left(\frac{x}{y}\right)$ ，求 $x^2 \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}-y^2 \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$.
设函数 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶导数， $z=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 满足等式 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$.
（1）验证 $f^{\prime \prime}(u)+\frac{f^{\prime}(u)}{u}=0$
（2）若 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ，求函数 $f(u)$ 的表达式.
已知函数 $f(u)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(0)=1$ ，函数 $y=y(x)$ 由方程 $y-x e^{y-1}=1$ 所确定，设
$$
z=f(\ln y-\sin x)
$$
求 $\left.\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0},\left.\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}$.
已知曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-2 z^2=0 \\ x+y+3 z=5\end{array}\right.$, 求 $C$ 上距离 $x O y$ 面最远的点和最近的点.
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x^2+y^2-z=\varphi(x+y+z)$所确定的函数，其中 $\varphi$ 具有 2 阶导数且 $\varphi^{\prime} \neq-1$.
(I) 求 $\mathrm{d} z$
(ㅍ) 记 $u(x, y)=\frac{1}{x-y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}\right)$ ，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$.
设 $z=f(x+y, x-y, x y)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，
求 $\mathrm{d} z$ 与 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+t^2 \\ y=\psi(t)\end{array} \quad(t>-1)\right.$ 所确定，其中 $\psi(t)$ 具有 2 阶导数，且 $\psi(1)=\frac{5}{2}, \psi^{\prime}(1)=6$.已知 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{3}{4(1+t)}$ ，求函数 $\psi(t)$.
设函数 $u=f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足等式
$$
4 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+12 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+5 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 ，
$$
确定 $a, b$ 的值，使等式在变换 $\xi=x+a y, \eta=x+b y$ 下化简为 $\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}=0$.
求函数 $u=x y+2 y z$ 在约束条件 $x^2+y^2+z^2=10$下的最大值和最小值.
已知函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $f(1, y)=0$ ， $f(x, 1)=0$ ， $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=a$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\} ，
$$
计算二重积分 $I=\iint_D x y f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.