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数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

u (x, y) = ϕ (x + y) + ϕ (x - y) + \int_{x - y}^{x + y} ψ (t) d t ，

其中函数

ϕ

具有二阶导数，

ψ

具有一阶导数，则必有

A.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = - \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}

B.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}

C.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}

D.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

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2. 二元函数

f (x, y)

在点

(0, 0)

处可微的一个充分条件是

A.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} [f (x, y) - f (0, 0)] = 0

B.

lim_{x \to 0} \frac{f (x, 0) - f (0, 0)}{x} = 0

，且

lim_{y \to 0} \frac{f (0, y) - f (0, 0)}{y} = 0

C.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{f (x, y) - f (0, 0)}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

D.

lim_{x \to 0} [f_{x}^{'} (x, 0) - f_{x}^{'} (0, 0)] = 0

，且

lim_{y \to 0} [f_{y}^{'} (0, y) - f_{y}^{'} (0, 0)] = 0

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3. 设函数

f

连续，若

F (u, v) = \iint_{D_{u v}} \frac{f (x^{2} + y^{2})}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d x d y

，其中

\begin{aligned} D_{u v} : x^{2} + y^{2} = 1, x^{2} + y^{2} = u^{2}, y = 0, y = x \arctan v \\ (u > 1, v > 0) ，则 \frac{\partial F}{\partial u} = \end{aligned}

A.

v f (u^{2})

B.

\frac{v}{u} f (u^{2})

C.

v f (u)

D.

\frac{v}{u} f (u)

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4. 设函数

f

连续，若

F (u, v) = \iint_{D_{u v}} \frac{f (x^{2} + y^{2})}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d x d y

，其中

D_{u v} : x^{2} + y^{2} = 1, x^{2} + y^{2} = u^{2}, y = 0, y = v x

(u > 1, v > 0)

，则

\frac{\partial F}{\partial u} =

A.

v f (u^{2})

B.

\frac{v}{u} f (u^{2})

C.

v f (u)

D.

\frac{v}{u} f (u)

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5. 设函数

z = z (x, y)

由方程

F (\frac{y}{x}, \frac{z}{x}) = 0

确定, 其中

F

为可微函数, 且

F_{2}^{'} \neq 0

, 则

x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} =

A.

x

B.

z

C.

- x

D.

- z

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6. 设函数

z = z (x, y)

由方程

F (\frac{y}{x}, \frac{z}{x}) = 0

确定，其中

F

为可微函数,且

F_{2}^{'} \neq 0

，则

x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} =

A.

x

B.

z

C.

- x

D.

- z

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二、填空题（共 9 题），请把答案直接填写在答题纸上

7. 设函数

z = z (x, y)

由方程

z = e^{2 x - 3 z} + 2 y

确定，则

3 \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} =

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8. 设函数

f (u, v)

由关系式

f [x g (y), y] = x + g (y)

确定，其中函数

g (y)

可微，且

g (y) \neq 0

，则

\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v} =

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9. 设

f (u, v)

为二元可微函数，

z = f (x^{y}, y^{x})

，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

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10. 设

f (u, v)

是二元可微函数，

z = f (\frac{y}{x}, \frac{x}{y})

，则

x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} =

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11. 设

f (u, v)

是二元可微函数，

z = f (\frac{y}{x}, \frac{x}{y})

，则

x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} =

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12. 设

z = {(\frac{y}{x})}^{\frac{x}{y}}

，则

{\frac{\partial z}{\partial x} |}_{(1, 2)} =

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13. 设函数

f (u, v)

具有二阶连续偏导数，

z = f (x, x y)

，则

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} =

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14. 设

z = {(x + e^{y})}^{x}

，则

{\frac{\partial z}{\partial x} |}_{(1, 0)} =

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15. 设

{\begin{cases} x = e^{- t}, \\ y = \int_{0}^{t} \ln (1 + u^{2}) d u \end{cases}

，求

{\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |}_{t = 0} =

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三、解答题（共 25 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. 设

z = f (e^{x} \sin y, x^{2} + y^{2})

, 其中

f

具有二阶连续偏导数, 求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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17. 设

z = x^{3} f (x y, \frac{y}{x}), f

具有连续二阶偏导数，求

\frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} 及 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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18. 设变换

{\begin{cases} u = x - 2 y, \\ v = x + a y \end{cases}

可把方程

6 \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0

简化为

\frac{\partial^{2} z}{\partial u \partial v} = 0

, 求常数

a

. (这里应假设

z

有二阶连续偏导数. )

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19. 设函数

y = y (x)

由方程

y - x e^{y} = 1

所确定，求

{\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |}_{x = 0}

的值.

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20. 设

z = f (x, y)

是由方程

z - y - x + x e^{z - y - x} = 0

所确定的二元函数，求

d z

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21. 设某产品的成本函数为

C = a q^{2} + b q + c

，需求函数为

q = \frac{1}{e} (d - p)

，其中

C

为成本，

q

为需求量(即产量)，

p

为单价，

a, b, c, d, e

都是正的常数，且

d > b

，求:
(1) 利润最大时的产量及最大利润;
(2) 需求对价格的弹性;
(3) 需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量.

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22. 已知

f (x, y) = x^{2} \arctan \frac{y}{x} - y^{2} \arctan \frac{x}{y}

，求

\frac{\partial^{2} y}{\partial x \partial y}

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23. 设生产某种产品必须投入两种要素，

x_{1}

和

x_{2}

分别为两要素的投入量，

Q

为产出量；若生产函数为

Q = 2 x_{1}^{α} x_{2}^{β}

，其中

α, β

为正常数，且

α + β = 1

. 假设两种要素的价格分别为

p_{1}

和

p_{2}

，试问: 当产出量为 12 时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最少?

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24. 设

z = f (x y, \frac{x}{y}) + g (\frac{x}{y})

，其中

f

具有二阶连续偏导数，

g

具有二阶连续导数，求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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25. 已知

z = u^{v}, u = \ln \sqrt{x^{2} + y^{2}}, v = \arctan \frac{y}{x}

，求

d z

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26. 假设某企业在两个相互分割的市场上出手同一种产品，两个市场的需求函数分别是

p_{1} = 18 - 2 Q_{1}, p_{3} = 12 - Q_{2} ，

其中

p_{1}, p_{2}

分别表示该产品在两个市场的价格 (单位: 万元顿)，

Q_{1}

和

Q_{2}

分别表示该产品在两个市场的销售量 (即需求量，单位：顿），并且该企业生产这种产品的总成本函数是

C = 2 Q + 5

，其中

Q

表示该产品在两个市场的销售总量，即

Q = Q_{1} + Q_{2}

(1) 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润;
(2) 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.

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27. 设有一小山，取它的底面所在的平面为

x O y

坐标面，其底部所占的区域为

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} - x y \leq 75}

，小山的高度函数为

h (x, y) = 75 - x^{2} - y^{2} + x y

.
(1) 设

M (x_{0}, y_{0})

为区域

D

上一点，问

h (x, y)

在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为

g (x_{0}, y_{0})

，试写出

g (x_{0}, y_{0})

的表达式.
(2) 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在

D

的边界线

x^{2} + y^{2} - x y = 75

上找出使(1)中的

g (x, y)

达到最大值的点. 试确定攀登起点的位置.

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28. 设某商品需求量

Q

是价格

p

的单调减少函数:

Q = Q (p)

，其需求弹性为

η = \frac{2 p^{2}}{192 - p^{2}} > 0

.
(1) 设

R

为总收益函数，证明:

\frac{d R}{d p} = Q (1 - η)

.
（2）求

p = 6

时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义.

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29. 设

z = z (x, y)

是由

x^{2} - 6 x y + 10 y^{2} - 2 y z -

z^{2} + 18 = 0

确定的函数，求

z = z (x, y)

的极值点和极值.

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30. 设

z = f (x^{2} - y^{2}, e^{x y})

，其中

f

具有连续二阶偏导数，求

\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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31. 设

f (u)

具有二阶连续导数，且

g (x, y) = f (\frac{y}{x}) + y f (\frac{x}{y})

，求

x^{2} \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}} - y^{2} \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}

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32. 设函数

f (u)

在

(0, + \infty)

内具有二阶导数，

z = f (\sqrt{x^{2} + y^{2}})

满足等式

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0

.
（1）验证

f^{''} (u) + \frac{f^{'} (u)}{u} = 0

（2）若

f (1) = 0, f^{'} (1) = 1

，求函数

f (u)

的表达式.

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33. 已知函数

f (u)

具有二阶导数，且

f^{'} (0) = 1

，函数

y = y (x)

由方程

y - x e^{y - 1} = 1

所确定，设

z = f (\ln y - \sin x)

求

{\frac{d z}{d x} |}_{x = 0}, {\frac{d^{2} z}{d x^{2}} |}_{x = 0}

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34. 已知曲线

C : {\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 2 z^{2} = 0 \\ x + y + 3 z = 5 \end{cases}

, 求

C

上距离

x O y

面最远的点和最近的点.

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35. 设

z = z (x, y)

是由方程

x^{2} + y^{2} - z = φ (x + y + z)

所确定的函数，其中

φ

具有 2 阶导数且

φ^{'} \neq - 1

.
(I) 求

d z

(ㅍ) 记

u (x, y) = \frac{1}{x - y} (\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y})

，求

\frac{\partial u}{\partial x}

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36. 设

z = f (x + y, x - y, x y)

，其中

f

具有二阶连续偏导数，
求

d z

与

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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37. 设函数

y = f (x)

由参数方程

{\begin{cases} x = 2 t + t^{2} \\ y = ψ (t) \end{cases} (t > - 1)

所确定，其中

ψ (t)

具有 2 阶导数，且

ψ (1) = \frac{5}{2}, ψ^{'} (1) = 6

.已知

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{3}{4 (1 + t)}

，求函数

ψ (t)

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38. 设函数

u = f (x, y)

具有二阶连续偏导数，且满足等式

4 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + 12 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} + 5 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0 ，

确定

a, b

的值，使等式在变换

ξ = x + a y, η = x + b y

下化简为

\frac{\partial^{2} u}{\partial ξ \partial η} = 0

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39. 求函数

u = x y + 2 y z

在约束条件

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 10

下的最大值和最小值.

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40. 已知函数

f (x, y)

具有二阶连续偏导数，且

f (1, y) = 0

，

f (x, 1) = 0

，

\iint_{D} f (x, y) d x d y = a

，其中

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1} ，

计算二重积分

I = \iint_{D} x y f_{x y}^{''} (x, y) d x d y

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