设 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内大于零，并满足 $x f^{\prime}(x)=f(x)+\frac{3 a}{2} x^2$ ( $a$ 为常数). 又曲线 $y=f(x)$ 与 $x=1, y=0$ 所围成的图形 $S$ 的面积值为 2 ，求函数 $y=f(x)$ ，并问 $a$ 为何值时，图形 $S$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$