设函数 $\varphi(y)$ 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 $L$ 上，曲线积分 $\oint_L \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^2+y^4}$ 的值恒为同一常数.
(1) 证明: 对右半平面 $x>0$ 内的任意分段光滑简单闭曲线 $C$ ，有 $\oint_C \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^2+y^4}=0$ ；
（2）求函数 $\varphi(y)$ 的表达式.