单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2\end{array}\right) ， b=\left(\begin{array}{c}1 \\ d \\ d^2\end{array}\right)$ ，若集合 $\Omega=\{1,2\}$ ，则线性方程组 $A x=b$ 有无穷多个解的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a \notin \Omega, d \notin \Omega$
$\text{B.}$ $a \notin \Omega, d \in \Omega$
$\text{C.}$ $a \in \Omega, d \notin \Omega$
$\text{D.}$ $a \in \Omega, d \in \Omega$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=P y$ 下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ，其中 $P=\left(e_1, e_2, e_3\right)$ ，若 $Q=\left(e_1,-e_3, e_2\right)$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准形为
$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$
$\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$
$\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$
$\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$n$ 阶行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}2 & 0 & \cdots & 0 & 2 \\ -1 & 2 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 2 & 2 \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & 2\end{array}\right|=$
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 3 维向量空间 $R^3$ 的一个基，
$$
\beta_1=2 \alpha_1+2 k \alpha_3, \beta_2=2 \alpha_2, \beta_3=\alpha_1+(k+1) \alpha_3 \text {. }
$$
（1）证明向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是 $R^3$ 的一个基；
（2）当 $k$ 为何值时，存在非零向量 $\xi$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标相同，并求出所有的 $\xi$.