单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设$A,B$是可逆矩阵，且$A,B$相似，则下列错误的是
$\text{A.}$ $A^T$ 与 $B^T$ 相似
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^T$ 与 $B+B^T$ 相似
$\text{D.}$ $A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2 x_1 x_2+$ $2 x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 的正负惯性指数分别为 1,2 ，则
$\text{A.}$ $a>1$
$\text{B.}$ $a < -2$
$\text{C.}$ $-2 < a < 1$
$\text{D.}$ $a=1$ 或 $a=-2$
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & -1 \\ -1 & a & -1 \\ -1 & -1 & a\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ 等价，则 $a=$ ．
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1-a \\ 1 & 0 & a \\ a+1 & 1 & a+1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 2 a-2\end{array}\right)$ ，且方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 无解.
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 求方程组 $A^T A x=A^T \beta$ 的通解
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
(1) 求 $A^{99}$ ；
(2) 设 3 阶矩阵 $B=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 满足 $B^2=B A$. 记 $B^{100}=\left(\beta_1, \beta_2, \beta_3\right)$ ， 将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 分别表示成 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合.