单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，其二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如下图所示，则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $y=\frac{1}{2} e^{2 x}+\left(x-\frac{1}{3}\right) e^x$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c e^x$ 的一个特解，则
$\text{A.}$ $a=-3, b=2, c=-1$
$\text{B.}$ $a=3, b=2, c=-1$
$\text{C.}$ $a=-3, b=2, c=1$
$\text{D.}$ $a=3, b=2, c=1$
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，则 $x=\sqrt{3}$ 与 $x=3$ 依次为幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-1)^n$ 的
$\text{A.}$ 收敛点，收敛点
$\text{B.}$ 收敛点，发散点
$\text{C.}$ 发散点, 收敛点
$\text{D.}$ 发散点，发散点
设 $D$ 是第一象限中曲线 $2 x y=1,4 x y=1$ 与直线 $y=x$ ， $y=\sqrt{3} x$ 围成的平面区域，函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则
$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=(\quad)
$$
$\text{A.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{2 \sin 2 \theta}}^{\frac{1}{\sin 2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$
$\text{B.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$
$\text{C.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{2 \sin 2 \theta}}^{\frac{1}{\sin 2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$
$\text{D.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{x^2}=$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|\right) \mathrm{d} x=$
若函数 $z=x(x, y)$ 由方程 $e^z+x y z+x+\cos x=2$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$
设 $\Omega$ 是由平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 $\iiint_{\Omega}(x+2 y+3 z) \mathrm{d} V=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)=x+a \ln (1+x)+b x \sin x, g(x)=k x^3$ ，若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x \rightarrow 0$ 时是等价无穷小，求 $a, b, k$ 值.
设 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零，若对任意的 $x_0 \in I$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处切线与直线 $x=x_0$ 及 $x$ 轴所围成的区域的面积恒为 4 ，且 $f(0)=2$ ，求 $f(x)$ 的表达式.
已知函数 $f(x, y)=x+y+x y$ ，曲线$C: x^2+y^2+x y=3 $
求 $f(x, y)$ 在曲线 $C$ 上的最大方向导数.
(1) 设函数 $u(x), v(x)$ 可导，利用导数定义证明
$$
[u(x) v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x) .
$$
(2) 设函数 $u_1(x), u_2(x), \cdots, u_n(x)$ 可导，
$$
f(x)=u_1(x) u_2(x) \cdots \cdots u_n(x) ，
$$
写出 $f(x)$ 的求导公式.
已知曲线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{2-x^2-y^2} \\ z=x\end{array}\right.$ ，起点为 $A(0, \sqrt{2}, 0)$ ，终点为 $B(0,-\sqrt{2}, 0)$ ，计算曲线积分
$I=\int_L(y+z) \mathrm{d} x+\left(z^2-x^2+y\right) \mathrm{d} y+\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} z$