单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\left\{x_n\right\}$ 是数列，下列命题中不正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=a$
$\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$
$\text{C.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n+1}=a$
$\text{D.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n+1}=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，其二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如下图所示，则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2 x, x^2+y^2 \leq 2 y\right\}$ ，函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \cos \theta} f( r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r +\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r $
$\text{B.}$ $ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r $
$\text{C.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$
$\text{D.}$ $2 \int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{1-\sqrt{1-x^2}}^x f(x, y) \mathrm{d} y$
下列级数中发散的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$
$\text{C.}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n+1}{\ln n}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{x^2}=$
设函数 $f(x)$ 连续， $\varphi(x)=\int_0^{x^2} x f(t) \mathrm{d} t$. 若 $\varphi(1)=1$ ， $\varphi^{\prime}(1)=5$ ，则 $f(1)=$
若函数 $z=x(x, y)$ 由方程 $e^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 确定, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$
设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ 的解，且在 $x=0$ 处取得极值 3 ，则 $y(x)=$
设函数 $f(x)=x+a \ln (1+x)+b x \sin x, g(x)=k x^3$ ，若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x \rightarrow 0$ 时是等价无穷小，求 $a, b, k$ 值.
计算二重积分 $\iint_D x(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2, y \geq x^2\right\} .
$$
为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模 $\eta$ 为需求弹性 $(\boldsymbol{\eta}>0)$.
(1) 证明定价模型为 $P=\frac{M C}{1-\frac{1}{\eta}}$ ；
(2) 若该商品的成本函数为 $C(Q)=1600+Q^2$ ，需求函数为 $Q=40-P$ ，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格。
设函数 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零，若对任意的 $x_0 \in I$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处切线与直线 $x=x_0$ 及 $x$ 轴所围成的区域的面积恒为 4 ，且 $f(0)=2$ ，求 $f(x)$ 的表达式。
(1) 设函数 $u(x), v(x)$ 可导，利用导数定义证明
$$
[u(x) v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x) .
$$
(2) 设函数 $u_1(x), u_2(x), \cdots, u_n(x)$ 可导，
$$
f(x)=u_1(x) u_2(x) \cdots u_n(x) ，
$$