单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是
$\text{A.}$ $f(x)=|x| \sin (|x|)$
$\text{B.}$ $f(x)=|x| \sin (\sqrt{|x|})$
$\text{C.}$ $f(x)=\cos |x|$
$\text{D.}$ $f(x)=\cos (\sqrt{|x|})$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) < 0$ 时， $f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) < 0$ 时， $f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime}(x)>0$ 时， $f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x)>0$ 时， $f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} \mathrm{~d} x$,
$$
N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{e^x} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x ，
$$
则 $M, N, K$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $M>N>K$
$\text{B.}$ $M>K>N$
$\text{C.}$ $K>M>N$
$\text{D.}$ $K>N>M$
设某产品的成本函数 $C(Q)$ 可导，其中 $Q$ 为产量，若产量为 $Q_0$ 时平均成本最小，则
$\text{A.}$ $C^{\prime}\left(Q_0\right)=0$
$\text{B.}$ $C^{\prime}\left(Q_0\right)=C\left(Q_0\right)$
$\text{C.}$ $C^{\prime}\left(Q_0\right)=Q_0 C\left(Q_0\right)$
$\text{D.}$ $Q_0 C^{\prime}\left(Q_0\right)=C\left(Q_0\right)$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=x^2+2 \ln x$ 在其拐点处的切线方程为
$\int e^x \arcsin \sqrt{1-e^{2 x}} \mathrm{~d} x=$
差分方程 $\Delta^2 y_x-y_x=5$ 的解为
设函数 $f(x)$ 满足
$$
f(x+\Delta x)-f(x)=2 x f(x) \Delta x+o(\Delta x),
$$
且 $f(0)=2$ ，则 $f(1)=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(a x+b) e^{\frac{1}{x}}-x\right]=2$ ，求 $a, b$.
求 $\iint_D x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由 $y=\sqrt{3\left(1-x^2\right)}$ 与 $y=\sqrt{3} x$ 和 $y$ 轴围成.
将长为 2 m 的铁丝分成三段，分别围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值，如果存在，求出最小值.
已知 $\cos 2 x-\frac{1}{(1+x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n(-1 < x < 1)$ ，求 $a_n$.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足:
$$
x_1>0, x_n e^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1(n=1,2, \cdots) .
$$
证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.