单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-a}{x-a}=b$, 则 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin f(x)-\sin a}{x-a}=$
$\text{A.}$ $b \sin a$
$\text{B.}$ $b \cos a$
$\text{C.}$ $b \sin f(a)$
$\text{D.}$ $b \cos f(a)$
函数 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left(e^x-1\right)(x-2)}$ 的第二类间断点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数，则
$\text{A.}$ $\int_0^x\left[\cos f(t)+f^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t$ 是奇函数
$\text{B.}$ $\int_0^x\left[\cos f(t)+f^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t$ 是偶函数
$\text{C.}$ $\int_0^x\left[\cos f^{\prime}(t)+f(t)\right] \mathrm{d} t$ 是奇函数
$\text{D.}$ $\int_0^x\left[\cos f^{\prime}(t)+f(t)\right] \mathrm{d} t$ 是偶函数
已知幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-2)^n$ 的收敛区间为 $(-2,6)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x+1)^{2 n}$ 的收敛区间为
$\text{A.}$ $(-2,6)$
$\text{B.}$ $(-3,1)$
$\text{C.}$ $(-5,3)$
$\text{D.}$ $(-17,15)$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $z=\arctan [x y+\sin (x+y)]$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,\pi)}=$
已知曲线满足 $x+y+\mathrm{e}^{2 x y}=0$ ，则曲线在点 $(0,-1)$ 处的切线方程为
设某厂生产某产品的产量为 $Q$ ，产品的单价为 $P$ ，成本函数为 $C(Q)=100+13 Q$ ，需求量为 $Q(P)=\frac{800}{P+3}-2$ ，则厂商取得最大利润时的产量为
设平面区域
$$
D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x}{2} \leq y \leq \frac{1}{1+x^2}\right., 0 \leq x \leq 1\right\}
$$
则 $D$ 绕 $y$ 轴旋转所成旋转体的体积为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a, b$ 为常数，且当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-e$ 与 $\frac{b}{n^a}$ 为等价无穷小, 求 $a, b$ 的值.
求函数 $f(x, y)=x^3+8 y^3-x y$ 的极值.
设函数 $y=f(x)$ 满足
$$
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0
$$
且有 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=-1$.
(I) 求 $f(x)$ 的表达式；
(II) 设 $a_n=\int_{n \pi}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
设区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, y \geq 0\right\}
$$
连续函数 $f(x, y)$ 满足
$$
f(x, y)=y \sqrt{1-x^2}+x \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
计算 $\iint_D x f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上具有连续导数，
$$
f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\}
$$
证明：
（I）存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$ ；
（I）若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ，则 $M=0$.