单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+x}{1+n x^{2 n}}$ ，则 $f(x)(\quad)$
$\text{A.}$ 在 $x=1, x=-1$ 处都连续
$\text{B.}$ 在 $x=1$ 处连续， $x=-1$ 处不连续
$\text{C.}$ 在 $x=1, x=-1$ 处都不连续
$\text{D.}$ 在 $x=1$ 处不连续， $x=-1$ 处连续
设 $I=\int_a^{a+k \pi}|\sin x| \mathrm{d} x, k$ 为整数，则 $I$ 的值（）
$\text{A.}$ 只与 $a$ 有关
$\text{B.}$ 只与 $k$ 有关
$\text{C.}$ 与 $a, k$ 均有关
$\text{D.}$ 与 $a, k$ 均无关
设 $f(x, y)$ 是连续函数，则 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x \int_{\sin x}^1 f(x, y) \mathrm{d} y=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^1 \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^1 \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $\ln (2+x)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{2 n}=$ ( )
$\text{A.}$ $-\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_0^x \frac{\left(1+t^2\right) \sin t^2}{1+\cos t^2} \mathrm{~d} t$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k=$
$\int_2^{+\infty} \frac{5}{x^4+3 x^2-4} \mathrm{~d} x=$
函数 $f(x, y)=2 x^3-9 x^2-6 y^4+12 x+24 y$ 的极值点是
某产品的价格函数为 $p=\left\{\begin{array}{ll}25-0.25 Q, & Q \leq 20, \\ 35-0.75 Q, & Q>20\end{array}\right.$ ( $p$ 为单价，单位: 万元； $Q$ 为产量，单位：件），总成本函数为
$$
C=150+5 Q+0.25 Q^2 \text { (万元) }
$$
则经营该产品可获得的最大利润为 $\qquad$ (万元 ).
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设有界区域 $D$ 位于第一象限，由曲线 $x y=\frac{1}{3}, x y=3$与直线 $y=\frac{1}{3} x, y=3 x$ 围成，计算 $I=\iint_D(1+x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z+\mathrm{e}^x-y \ln \left(1+z^2\right)=0$确定，求 $\left.\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\right)\right|_{(0,0)}$.
设 $t>0$ ，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=x \mathrm{e}^{-2 x}$ 与直线 $x=t, x=2 t$ 及 $x$ 轴围成， $D$ 的面积为 $S(t)$ ，求 $S(t)$ 的最大值.
设 $f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$.
证明：（1）当 $x \in(0,1)$ 时，有
$$
|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2}
$$
(2) $\left|\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$.