单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
已知级数 ① $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{n^3 \pi}{n^2+1}$; ② $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\tan \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\right)$, 则
$\text{A.}$ ①②均条件收敛
$\text{B.}$ ①条件收敛②绝对收敛
$\text{C.}$ ①绝对收敛②条件收敛
$\text{D.}$ ①②均绝对收敛
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导, 则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在.
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在.
设函数 $f(x, y)$ 连续, 则 $\int_{-2}^2 d x \int_{4-x^2}^4 f(x, y) d y=$
$\text{A.}$ $\int_0^4\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\int_{\sqrt{4-y}}^2 f(x, y) d x\right] d y$
$\text{B.}$ $\int_0^4\left[\int_{-2}^{\sqrt{4 y}} f(x, y) d x+\int_{\sqrt{4-y}}^2 f(x, y) d x\right] d y$
$\text{C.}$ $\int_0^4\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\int_2^{\sqrt{4-y}} f(x, y) d x\right] d y$
$\text{D.}$ $2 \int_0^4 d y\left[\int_{\sqrt{4-y}}^2 f(x, y)\right] d x$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^x-1}{\ln x \cdot \ln (1-x)}=$
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ x^2, \frac{1}{2} \leq x \leq 1\end{array}\right.$ 的傅里叶级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x, S(x)$ 为 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x$ 的和函数, 则 $S\left(-\frac{7}{2}\right)=$
已知函数 $U(x, y, z)=x y^2 z^3$, 向量 $n=(2,2,-1)$, 则 $\left.\frac{\partial v}{\partial n}\right|_{(1,1,1)}=$
已知有向曲线 $L$ 是沿抛物线 $y=1-x^2$ 从点 $(1,0)$ 到 $(-1,0)$ 的段, 则曲线积分
$$
\int_L(y+\cos x) d x+(2 x+\cos y) d y=
$$
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x$
函数 $f(u)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内有二阶导数, 记 $g(x, y)=f\left(\frac{x}{y}\right)$,若 $g(x, y)$ 满足 $x^2 \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+x y \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}+y^2 \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=1$, 且 $g(x, x)=1,\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{(x, x)}=\frac{2}{x}$, 求 $f(u)$.
设 $\Sigma$ 是由直线 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=0\end{array}\right.$ 绕直线 $\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t \\ z=t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数) 旋转一周得到的曲面， $\Sigma_1$ 是 $\Sigma$ 介于平面 $x+y+z=0$ 与 $x+y+z=1$ 之间部分的外侧，计算曲面积分
$$
\iint_{\Sigma_1} x d y d z+(y+1) d z d x+(z+2) d x d y
$$