单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_0^{x^2}\left(e^{t^3}-1\right) \mathrm{d} t$ 是 $x^7$ 的
$\text{A.}$ 低阶无穷小
$\text{B.}$ 等价无穷小
$\text{C.}$ 高阶无穷小
$\text{D.}$ 同阶但非等价无穷小
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 连续且取极大值
$\text{B.}$ 连续且取极小值
$\text{C.}$ 可导且导数等于 0
$\text{D.}$ 可导且导数不为 0
设函数 $f(x)=a x-b \ln x(a>0)$ 有两个零点，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(e,+\infty)$
$\text{B.}$ $(0, e)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{e}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$
设函数 $f(x, y)$ 可微，且
$$
f\left(x+1, \mathrm{e}^x\right)=x(x+1)^2, f\left(x, x^2\right)=2 x^2 \ln x
$$
则 $\mathrm{d} f(1,1)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\mathrm{d} x+\mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\mathrm{d} x-\mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\mathrm{d} y$
$\text{D.}$ $-\mathrm{d} y$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $y=\cos e^{-\sqrt{x}}$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=1}=$
$\int_{\sqrt{5}}^5 \frac{x}{\sqrt{\left|x^2-9\right|}} \mathrm{d} x=$
设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{x} \sin \pi x(0 \leq x \leq 1)$ 与 $x$所围成，则 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积为
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[a \arctan \frac{1}{x}+(1+|x|)^{\frac{1}{x}}\right]$ 存在，求 $a$ 的值.
求函数 $f(x, y)=2 \ln |x|+\frac{(x-1)^2+y^2}{2 x^2}$的极值.
设有界区域 $D$ 是 $x^2+y^2=1$ 和直线 $y=x$ 及 $x$ 轴在第一象限围成的 部分，计算二重积分
$$
I=\iint_D e^{(x+y)^2}\left(x^2-y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
设 $n$ 为正整数， $y=y_n(x)$ 是微分方程 $x y^{\prime}-(n+1) y=0$ 满足条件 $y_n(1)=\frac{1}{n(n+1)}$ 的解.
(1) 求 $y_n(x)$ ；
(2) 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} y_n(x)$ 的收敛域及和函数.