单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
1、当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha(x), \beta(x)$ 是非零无穷小量，给出以下四个命题:
(1) 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$, 则 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$ ；
(2) 若 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$
(3) 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ，则 $\alpha(x)-\beta(x) \sim o(\alpha(x))$ ；
(4) 若 $\alpha(x)-\beta(x) \sim o(\alpha(x))$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$.
其中所有真命题序号是
$\text{A.}$ (1)(2)
$\text{B.}$ (1)(4)
$\text{C.}$ (1)(3)(4)
$\text{D.}$ (2)(3)(4)
$\int_0^2 \mathrm{~d} y \int_y^2 \frac{y}{\sqrt{1+x^3}} \mathrm{~d} x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处有 2 阶导数，则（ ）
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内单调增加时， $f^{\prime}\left(x_0\right)>0$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}\left(x_0\right)>0$ 时， $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内单调增加
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内是凹函数时， $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0, f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内是凹函数
设函数 $f(t)$ 连续，令$F(x, y)=\int_0^{x-y}(x-y-t) f(t) \mathrm{d} t$ 则
$\text{A.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x}=-\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial y}, \frac{\partial^2 \boldsymbol{F}}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 \boldsymbol{F}}{\partial y^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=-\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
设 $p$ 为常数，若反常积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{x^p(1-x)^{1-p}} \mathrm{~d} x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-1,1)$
$\text{B.}$ $(-1,2)$
$\text{C.}$ $(-\infty, 1)$
$\text{D.}$ $(-\infty, 2)$
设有数列 $\left\{x_n\right\}$ ，满足 $-\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \frac{\pi}{2}$ ，则（）
$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(\sin x_n\right)$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\cos x_n\right)$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{C.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(\sin x_n\right)$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin x_n$ 存在，但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
$\text{D.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\cos x_n\right)$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos x_n$ 存在，但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在