单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x, y)=\ln (y+|x \sin y|)$ ，则 ( )
$\text{A.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)}$ 不存在, $\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 存在
$\text{B.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)}$ 存在, $\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 不存在
$\text{C.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)},\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 均存在
$\text{D.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)},\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 均不存在
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, & x \leq 0, \\ (x+1) \cos x, x>0\end{array}\right.$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ $F(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-\bar{x}\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, & x>0\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{F}(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, & x>0\end{cases}$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{F}(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$
若微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，则 $($ )
$\text{A.}$ $a < 0, b>0$
$\text{B.}$ $a>0, b>0$
$\text{C.}$ $a=0, b>0$
$\text{D.}$ $a=0, b < 0$
已知 $a_n < b_n(n=1,2, \cdots)$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 均收敛，则 " $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛 "是 " $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 绝对收敛"的( )
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分不必要条件
$\text{C.}$ 必要不充分条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left(2-x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\right)=$
已知函数 $f(x, y)$ 满足
$\mathrm{d} f(x, y)=\frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}, f(1,1)=\frac{\pi}{4} ，$
则 $f(\sqrt{3}, 3)=$
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}=$
设某公司在 $t$ 时刻的资产为 $f(t)$ ，从 0 时刻到 $t$ 时刻的平均资产等于 $\frac{f(t)}{t}-t$ ，假设 $f(t)$ 连续且 $f(0)=0$ ，则 $f(t)=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知可导函数 $y=y(x)$ 满足
$$
a e^x+y^2+y-\ln (1+x) \cos y+b=0
$$
且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=0$.
(1) 求 $a, b$ 的值.
(2) 判断 $x=0$ 是否为 $y(x)$ 的极值点.
已知平面区域
$$
D=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leq y \leq \frac{1}{x \sqrt{1+x^2}}\right., x \geq 1\right\}
$$
(1) 求 $D$ 的面积;
(2) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积.
已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+y^2 \leq 1\right\}$ ，计算二重积分 $I=\iint_D\left|\sqrt{x^2+y^2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上具有 2 阶连续导数. 证明:
(1) 若 $f(0)=0$ ，则存在 $\xi \in(-a, a)$ ，使得
$$
f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]
$$
(2) 若 $f(x)$ 在 $(-a, a)$ 内取得极值，则存在 $\eta \in(-a, a)$ ，使得
$$
\left|f^{\prime \prime}(\eta)\right| \geq \frac{1}{2 a^2}|f(a)-f(-a)|
$$