单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
若 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x} & , x>0 \\ b, & x \leq 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则
$\text{A.}$ $a b=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $a b=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $a b=0$
$\text{D.}$ $a b=2$
设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(x) f^{\prime}(x)>0$ ，则
$\text{A.}$ $f(1)>f(-1)$
$\text{B.}$ $f(1) < f(-1)$
$\text{C.}$ $|f(1)|>|f(-1)|$
$\text{D.}$ $|f(1)| < |f(-1)|$
函数 $f(x, y, z)=x^2 y+z^2$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿向量 $\vec{n}=(1,2,2)$ 的方向导数为
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 2
甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10 (单位:m) 处.图中，实线表示甲的速度曲线 $v=v_1(t)$ （单位: $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ ）虚线表示乙的速度曲线 $v=v_2(t)$ ，三块阴影部分面积的数值依次为 $10 ， 20 ， 3$ ，计时开始后乙追上甲的时刻记为 $t_0$ （单位: $s$ ），则
$\text{A.}$ $t_0=10$
$\text{B.}$ $15 < t_0 < 20$
$\text{C.}$ $t_0=25$
$\text{D.}$ $t_0>25$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ ，则 $f^{(3)}(0)=$
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+3 y=0$ 的通解为 $y=$
若曲线积分 $\int_L \frac{x \mathrm{~d} x-a y \mathrm{~d} y}{x^2+y^2-1}$ 在区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 < 1\right\}
$$
内与路径无关，则 $a=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n-1}$ 在区间 $(-1,1)$ 内的和函数 $S(x)=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数， $y=f\left(e^x, \cos x\right)$ ，求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0},\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}$.
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right)$.
已知函数 $y(x)$ 由方程 $x^3+y^3-3 x+3 y-2=0$ 确定，求 $y(x)$ 的极值.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上具有二阶导数，且
$$
f(1)>0, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x} < 0 .
$$
证明：（1）方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根；
(2) 方程 $f(x) f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根.
设薄片型物体 $S$ 是圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $z^2=2 x$割下的有限部分，其上任一点密度为
$$
\mu(x, y, z)=9 \sqrt{x^2+y^2+z^2} 。
$$
记圆锥与柱面的交线为 $C$ :
(1) 求 $C$ 在 $x O y$ 平面上的投影曲线的方程;
(2) 求 $S$ 的质量 $M$.