单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是
$\text{A.}$ $f(x)=|x| \sin (|x|)$
$\text{B.}$ $f(x)=|x| \sin (\sqrt{|x|})$
$\text{C.}$ $f(x)=\cos |x|$
$\text{D.}$ $f(x)=\cos (\sqrt{|x|})$
过点 $(1,0,0)$ 与 $(0,1,0)$ 且与 $z=x^2+y^2$ 相切的平面方程为
$\text{A.}$ $z=0$ 与 $x+y-z=1$
$\text{B.}$ $z=0$ 与 $2 x+2 y-z=2$
$\text{C.}$ $y=x$ 与 $x+y-z=1$
$\text{D.}$ $y=x$ 与 $2 x+2 y-z=2$
$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{2 n+3}{(2 n+1)!}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\sin 1+\cos 1$
$\text{B.}$ $2 \sin 1+\cos 1$
$\text{C.}$ $2 \sin 1+2 \cos 1$
$\text{D.}$ $3 \sin 1+2 \cos 1$
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} \mathrm{~d} x$ ，
$$
N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{e^x} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x ，
$$
则 $M, N, K$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $M>N>K$
$\text{B.}$ $M>K>N$
$\text{C.}$ $K>M>N$
$\text{D.}$ $K>N>M$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)^{\frac{1}{\sin k x}}=e$ ，则 $k=$
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，若曲线 $y=f(x)$ 过点 $(0,0)$ 且与曲线 $y=2^x$ 在点 $(1,2)$ 处相切，则
$$
\int_0^1 x f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x=
$$
设 $\vec{F}(x, y, z)=x y \vec{i}-y z \vec{j}+x z \vec{k}$ ，则
$$
\operatorname{rot} \vec{F}(1,1,0)=
$$
曲线 $S$ 由 $x^2+y^2+z^2=1$ 与 $x+y+z=0$ 相交而成，则 $\oint_S x y \mathrm{~d} s=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求不定积分 $\int e^{2 x} \arctan \sqrt{e^x-1} \mathrm{~d} x$
将长为 2 m 的铁丝分成三段，分别围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值，如果存在，求出最小值.
设曲面 $\Sigma: x=\sqrt{1-3 y^2-3 z^2}$ 取前侧，求
$$
\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(y^3+z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+z^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
已知微分方程 $y^{\prime}+y=f(x)$ ，其中 $f(x)$ 是 $R$ 上的连续函数.
(1) 当 $f(x)=x$ 时，求微分方程的通解；
(2) 当 $f(x)$ 为周期函数时，证明微分方程有通解与其对应，且该通解也为周期函数.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足:
$$
x_1>0, x_n e^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1(n=1,2, \cdots) .
$$
证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.