单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\alpha$ 为 $\boldsymbol{n}$ 维单位列向量， $E$ 为 $\boldsymbol{n}$ 阶单位矩阵，则
$\text{A.}$ $E-\alpha \alpha^T$ 不可逆
$\text{B.}$ $E+\alpha \alpha^T$ 不可逆
$\text{C.}$ $E+2 \alpha \alpha^T$ 不可逆
$\text{D.}$ $E-2 \alpha \alpha^T$ 不可逆
已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ， $C=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ，则
$\text{A.}$ $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 相似
$\text{B.}$ $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 不相似
$\text{C.}$ $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 相似
$\text{D.}$ $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 不相似
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right], \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 $\boldsymbol{A} \alpha_1, \boldsymbol{A} \alpha_2, A \alpha_3$ 的秩为
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 有 3 个不同的特征值，且 $\alpha_3=\alpha_1+2 \alpha_2$.
(1) 证明 $r(A)=2$ ；
(2) 如果 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ ，求方程组 $\boldsymbol{A x}=\beta$ 的通解.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2-x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2$ $-8 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准型为 $\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2$. 求 $a$ 的值及一个正交矩阵 $Q$