单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x^T A x$ 在正交变换下可化成 $y_1^2-2 y_2^2+3 y_3^2$ ，则二次型 $f$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式与迹分别为 ( )
$\text{A.}$ $-6,-2$
$\text{B.}$ $6,-2$
$\text{C.}$ $-6,2$
$\text{D.}$ $6,2 $
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，若 $\boldsymbol{P}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}^2=\left(\begin{array}{ccc}a+2 c & 0 & c \\ 0 & b & 0 \\ 2 c & 0 & c\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a+1 & b & 3 \\ a & \frac{b}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right), M_{i j}$ 表示 $A$ 的 $i$ 行 $j$ 列元素的余子式. 若 $|A|=-\frac{1}{2}$ ，且 $-M_{21}+M_{22}-M_{23}=0$ ，则（）
$\text{A.}$ $a=0$ 或 $a=-\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $a=0$ 或 $a=\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $b=1$ 或 $b=-\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $b=-1$ 或 $b=\frac{1}{2}$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵. 若 $r(2 E-A)=1, r(E+A)=2$ ，则 $\left|A^*\right|=$
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{array}\right)$ ，向量 $\alpha=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \quad \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$.
(1) 证明: 方程组 $A x=\alpha$ 的解均为方程组 $B x=\beta$ 的解;
(2) 若方程组 $A x=\alpha$ 与方程组 $B x=\beta$ 不同解，求 $a$ 的值.