单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ 有一个正特征值和两个负特征值, 则 ( )
$\text{A.}$ $a>4, b>0$
$\text{B.}$ $a < 4, b>0$
$\text{C.}$ $a>4, b < 0$
$\text{D.}$ $a < 4, b < 0$
下列矩阵中, 可以经过若干初等行变换得到矩阵 $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 的是
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 6\end{array}\right)$
设 3 阶矩阵 $A, B$ 满足 $r(A B)=r(B A)+1$, 则
$\text{A.}$ 方程组 $(A+B) x=0$ 只有零解
$\text{B.}$ 方程组 $A x=0$ 与方程组 $B x=0$ 均只有零解
$\text{C.}$ 方程组 $A x=0$ 与方程组 $B x=0$ 没有公共非零解
$\text{D.}$ 方程组 $A B A x=0$ 与方程组 $B A B x=0$ 有公共非零解
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$, 若 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, 且 $\alpha_1+\alpha_2=\alpha_3+\alpha_4$, 则方程组 $A x=\alpha_1+4 \alpha_4$ 的通解为 $x=$
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & a\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}k & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 合同.
(1)求 $a$ 的值及 $k$ 的取值范围:
(2) 若存在正交矩阵 $Q$, 使得 $Q^T A Q=B$, 求 $k$ 及 $Q$.