单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
$A$ 是 $m \times n$ 矩阵, $\beta$ 是 $m$ 维非零列向量, 若 $A$ 有 $k$ 阶非零子式, 则
$\text{A.}$ 当 $k=m$ 时, $A x = \beta$ 有解.
$\text{B.}$ 当 $k=m$ 时, $A x = \beta$ 无解.
$\text{C.}$ 当 $k < m$ 时, $A x = \beta$ 有解.
$\text{D.}$ 当 $k < m$ 时, $A x = \beta$ 无解.
设 $A$ 为 3 阶矩阵, 则 " $A ^3- A ^2$ " 可对角化是 " $A$ 可对角化" 的
$\text{A.}$ 充分但不必要条件
$\text{B.}$ 必要但不充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -a\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & a\end{array}\right)$, 若 $f(x, y)=|x A +y B |$ 是正定二次型, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(0,2-\sqrt{3})$
$\text{B.}$ $(2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3})$
$\text{C.}$ $(2+\sqrt{3}, 4)$
$\text{D.}$ $(0,4)$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}2 x+1 & 3 & 2 x+1 & 1 \\ 2 x & -3 & 4 x & -2 \\ 2 x+1 & 2 & 2 x+1 & 1 \\ 2 x & -4 & 4 x & -2\end{array}\right|, g(x)=\left|\begin{array}{cccc}2 x+1 & 1 & 2 x+1 & 3 \\ 5 x+1 & -2 & 4 x & -3 \\ 0 & 1 & 2 x+1 & 2 \\ 2 x & -2 & 4 x & -4\end{array}\right|$, 则方程 $f(x)=g(x)$ 的不同的根的个数为
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccccc}1 & -1 & 3 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -2 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a & 2 & 3\end{array}\right)$ 的秩为 2 .
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 求 $A$ 的列向量组的一个极大线性无关组 $\alpha , \beta$, 并求矩阵 $H$, 使得 $A = G H$, 其中 $G =( \alpha , \beta )$.