单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 为可逆矩阵，使得 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 则 $A\left(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\alpha_1+\alpha_2$
$\text{B.}$ $\alpha_2+2 \alpha_3$
$\text{C.}$ $\alpha_2+\alpha_3$
$\text{D.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2$
已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] ， B=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ， $C=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ，则
$\text{A.}$ $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 相似
$\text{B.}$ $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 不相似
$\text{C.}$ $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 相似
$\text{D.}$ $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 不相似
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & a \\ 3 & 1 & -1\end{array}\right)$ 的一个特征向量为 $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ ， 则 $a=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 有 3 个不同的特征值，且 $\alpha_3=\alpha_1+2 \alpha_2$ 。
(1) 证明 $r(A)=2$ ；
(2) 如果 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$, 求方程组 $\boldsymbol{A x}=\beta$ 的通解.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2-x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2$ $-8 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准型为
$$
\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2
$$
求 $a$ 的值及一个正交矩阵 $Q$.