单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{A}$ 为四阶矩阵， $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，若线性方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 的基础解系中只有 2 个向量，则 $A^*$ 的秩是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵， $\boldsymbol{E}$ 是三阶单位矩阵，若 $A^2+A=2 E ， \text { 且 }|A|=4 \text { ， }$ 则二次型 $x^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的规范形为
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2+y_3^2$
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$
$\text{C.}$ $y_1^2-y_2^2-y_3^2$
$\text{D.}$ $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & a^2-1\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$, 线性方程组 $A X=b$有无穷多解，则 $a=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知向量组
(I) $\alpha_1=(1,1,4)^T, \alpha_2=(1,0,4)^T, \alpha_3=\left(1,2, a^2+3\right)^T$,
(II) $\beta_1=(1,1, a+3)^T, \beta_2=(0,2,1-a)^T, \beta_3=\left(1,3, a^2+3\right)^T$,若向量组(I)和向量组(II) 等价，求 $a$ 的取值，并将 $\boldsymbol{\beta}_3$ 用 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 表示.
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & -2 & 1 \\ 2 & x & -2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{array}\right)$ 相似.
(1) 求 $x, y$ ；
(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=B$.