单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，若
$P^T A P^2=\left(\begin{array}{ccc}a+2 c & 0 & c \\ 0 & b & 0 \\ 2 c & 0 & c\end{array}\right) ，$ 则 $A= $
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵. 若 $\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^*\right)=O$ ，且 $A \neq A^*$ ，则 $r(A)$ 的取值为
$\text{A.}$ 0 或 1
$\text{B.}$ 1 或 3
$\text{C.}$ 2 或 3
$\text{D.}$ 1 或 2
设 $A, B$ 为 2 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ ，则 " $\boldsymbol{A}$ 有两个不相等的特征值"是 " $B$ 可对角化" 的 ( )
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分不必要条件
$\text{C.}$ 必要不充分条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
16、设向量 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}a \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ b \\ a\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ a \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$, 若 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则 $a b=$ $\qquad$
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right), B=\left|\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1 \\ b & 2\end{array}\right|$ ， 二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x^T B A x
$$
已知方程组 $A x=0$ 的解均是 $B^T x=0$ 的解，但两个方程组不同解.
(1) 求 $a, b$ 的值;
(2) 求正交变换 $x=Q y$ 将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形.