单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2-\left(x_3-x_1\right)^2
$$
的正惯性指数与负惯性指数依次为 $(\quad)$
$\text{A.}$ 2,0
$\text{B.}$ 1,1
$\text{C.}$ 2,1
$\text{D.}$ 1,2
设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ 为 4 阶正交矩阵，若矩阵
$B=\left(\begin{array}{l}\alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \alpha_3^T\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), k$ 为任意常数，
则线性方程组 $B x=\beta$ 的通解为 ( $\quad$ ）
$\text{A.}$ $\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4+k \alpha_1$
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_3+\alpha_4+k \alpha_2$
$\text{C.}$ $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_4+k \alpha_3$
$\text{D.}$ $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+k \alpha_4$
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5\end{array}\right)$ ，若下三角可逆矩阵 $P$ 和上三角可逆矩阵 $Q$ 使 $P A Q$ 为对角矩阵，则 $P, Q$ 可分别取为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & x & 1 & 2 x \\ 1 & x & 2 & -1 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 2 & -1 & 1 & x\end{array}\right|$ 中 $x^3$ 项的系数为
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & a & b\end{array}\right)$ 仅有两个不同的特征值. 若 $A$ 相似于对角矩阵，求 $a, b$ 的值，并求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵.