单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 4 阶矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ 不可逆， $a_{12}$ 的代数余子式 $A_{12} \neq 0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 为矩阵 $A$ 的列向量组， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=0$ 的通解为
$\text{A.}$ $x=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_3$ ，其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数
$\text{B.}$ $x=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_4$ ，其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数
$\text{C.}$ $x=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_3+k_3 \alpha_4$ ，其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数
$\text{D.}$ $x=k_1 \alpha_2+k_2 \alpha_3+k_3 \alpha_4$ ，其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数
设 $A$ 为 3 阶方阵， $\alpha_1, \alpha_2$ 为属于特征值 1 的线性无关的特征向量， $\alpha_3$ 为 $A$ 的属于特征值 -1 的特征向量，则满足 $P^{-1} A P=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ 的可逆矩阵 $P$ 可为
$\text{A.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_3, \alpha_2,-\alpha_3\right)$
$\text{B.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2,-\alpha_3\right)$
$\text{C.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_3,-\alpha_3, \alpha_2\right)$
$\text{D.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_2,-\alpha_3, \alpha_2\right)$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a\end{array}\right|=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_2+2 a x_1 x_3+2 a x_2 x_3
$$
经过可逆线性变换 $x=P y$ 变换为
$$
g\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_1^2+y_2^2+4 y_3^2+2 y_1 y_2
$$
(I) 求 $a$ 的值；
(II) 求可逆矩阵 $P$.
设 $A$ 为 2 阶矩阵， $P=(\alpha, A \alpha)$ ，其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量. (I) 证明 $\boldsymbol{P}$ 为可逆矩阵； (I) 若 $A^2 \alpha+A \alpha-6 \alpha=0$ ，求 $P^{-1} A P$ ，并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵.