单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2\end{array}\right) ， b=\left(\begin{array}{c}1 \\ d \\ d^2\end{array}\right)$ ，若集合 $\Omega=\{1,2\}$ ，则线性方程组 $A x=b$ 有无穷多个解的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a \notin \Omega, d \notin \Omega$
$\text{B.}$ $a \notin \Omega, d \in \Omega$
$\text{C.}$ $a \in \Omega, d \notin \Omega$
$\text{D.}$ $a \in \Omega, d \in \Omega$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=P y$ 下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ，其中 $P=\left(e_1, e_2, e_3\right)$ ，若 $Q=\left(e_1,-e_3, e_2\right)$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准形为
$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$
$\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$
$\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$
$\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $2,-2,1, B=A^2-A+E$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 $\mathbf{3}$ 阶单位矩阵，则行列式 $|\boldsymbol{B}|=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 0 \\ 1 & a & -1 \\ 0 & 1 & a\end{array}\right)$ 且 $A^3=0$ 。
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 若矩阵 $\boldsymbol{X}$ 满足 $\boldsymbol{X}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^2=E$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵，求 $X$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{rrr}0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & a\end{array}\right)$ 相似于矩阵
$$
B=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 3 & 1
\end{array}\right) \text {. }
$$
(1) 求 $a, b$ 的值;
(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵