填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设多项式 $f(x)=x^5+x^4-x^3+2 x^2-x-2$ ，则它在有理数域上的标准分解式为
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 是实数域上的二次多项式，且以首一多项式表示最大公因式，若 $\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=f^{\prime \prime}(x)$ ，且 $f(2025)=0$ ，求 $f(x)$
证明题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $a$ 和 $b$ 的值，使得 $f(x)=x^3-5 x^2+7 x+a$ 和 $g(x)=x^3-8 x+b$ 有两个公共根．
设 $1, \omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_{n-1}$ 是 $x^n-1$ 的所有不同的复数根．求证：
$$
\left(1-\omega_1\right)\left(1-\omega_2\right) \cdots\left(1-\omega_{n-1}\right)=n .
$$
（中国科学院大学，2012 年）证明：多项式 $f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}$ 没有重根．
（北京大学，2002 年）对于任意非负整数 $n$ ，令 $f_n(x)=x^{n+2}-(x+1)^{2 n+1}$ ．证明：
$$
\left(x^2+x+1, f_n(x)\right)=1
$$
（北京航空航天大学，2004 年）设 $f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0$ 是一个整系数多项式．证明：如果存在一个素数 $p$ ，使得
（1）$p$ 不能整除 $a_n$ ；
（2）$p \mid a_{n-1}, a_{n-2}, \cdots, a_0$ ；
（3）$p^2$ 不能整除 $a_0 \cdot$
那么多项式 $f(x)$ 在有理数域上是不可约的．
证明：整系数多项式 $f(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n$ 有整数根的充分必要条件为存在 $2(n-1)$ 个整数 $b_i, c_i$ 满足下列条件：
（1）$a_i=b_i+c_i, 1 \leqslant i \leqslant n-1$ ；
（2）$\frac{1}{c_1}=\frac{b_1}{c_2}=\frac{b_2}{c_3}=\cdots=\frac{b_{n-2}}{c_{n-1}}=\frac{b_{n-1}}{a_n}$ ．
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是三次方程 $x^3+a x^2+b x+c=0$ 在复数域上的 3 个根，求一个三次方程，使其 3 个根为 $\alpha_1^3, \alpha_2^3, \alpha_3^3$ ．
（西北大学，2014 年）求满足 $f\left(x^2\right)=f(x) f(x+1)$ 的非常数多项式 $f(x)$ ．