单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & -1 & 2 x & -x \\ 3 & x & 4 & 1 \\ 2 & 0 & -x & -1 \\ -1 & 3 & 1 & x\end{array}\right|$ 中 $x^3$ 项的系数为
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -4
$\text{D.}$ 4
若 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1, \beta _2$ 都是 4 维列向量, 且 4 阶行列式 $\left| \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1\right|=m$, $\left| \alpha _1, \alpha _2, \beta _2, \alpha _3\right|=n$, 则 4 阶行列式 $\left| \alpha _3, \alpha _2, \alpha _1, \beta _1+ \beta _2\right|$ 等于
$\text{A.}$ $m+n$.
$\text{B.}$ $-(m+n)$.
$\text{C.}$ $n-m$.
$\text{D.}$ $m-n$.
设 $D=\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|, A_{i j}$ 为 $D$ 的 $(i, j)$ 元的代数余子式, 则 $A_{31}+2 A_{32}+3 A_{33}=$
$\text{A.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$
$\text{B.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right|$
$\text{C.}$ $\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & 2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
$\text{D.}$ $\left|\begin{array}{llc}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & -2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
设 $\left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & -3 & 5 & 0\end{array}\right|=A_{41}-A_{42}+A_{43}+10$ ，其中 $A_{i j}$ 为元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $a, b$ 的值为
$\text{A.}$ $a=4, b=1$
$\text{B.}$ $a=1, b=4$
$\text{C.}$ $a=4, b$ 为任意常数
$\text{D.}$ $a=1, b$ 为任意常数
设 $D=\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|, A_{i j}$ 为 $D$ 的 $(i, j)$ 元的代数余子式，则 $A_{31}+2 A_{32}+3 A_{33}=$
$\text{A.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$
$\text{B.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right|$
$\text{C.}$ $\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & 2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
$\text{D.}$ $\left|\begin{array}{llc}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & -2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
已知 $| A |=\left|\begin{array}{cccc}a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & 2\end{array}\right|=9$ ，则代数余子式 $A_{21}+A_{22}=$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 12
设 $| A |=\left|\begin{array}{cccc}2 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|$ ，则 $A_{31}+A_{32}+A_{33}+M_{34}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 2
行列式 $\left|\begin{array}{llll}a & 0 & 0 & b \\ 0 & x & y & 0 \\ 0 & u & v & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|$ 中元素 $c$ 的代数余子式是（ ）
$\text{A.}$ $b(x v-y u)$
$\text{B.}$ $b(y u-x v)$
$\text{C.}$ $c(y u-x v)$
$\text{D.}$ $c(x v-y u)$
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知四阶行列式 $D$ 的第三行元素分别为: $-1,0,2,4$; 第四行元素对应的代数余子式依次是 $2,10, x, 4$, 则 $x=$
设 $A =\left( a _{i j}\right)$ 为 3 阶矩阵, $A _{i j}$ 为元素 $a _{i j}$ 的代数余子式, 若 $A$ 的每行元素之和均为 2 , 且 $| A |= 3$, 则 $A_{11}+A_{21}+A_{31}=$
设 $A =\left[\begin{array}{lllll}0 & 0 & 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ ，则 $| A |$ 中所有元素的代数余子式之和为
已知 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $-1,2,3$ ，则 $A_{11}+A_{22}+A_{33}=$
已知 4 阶行列式 $\left| \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta \right|=a,\left| \beta + \gamma , \alpha _2, \alpha _3, \alpha _1\right|=b$ ，其中 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta , \gamma$ 均为 4 维列向量，计算 $\left| \alpha _1, \alpha _3, \alpha _2, \gamma \right|$ ．
若三阶行列式 $D$ 中第 3 行的元素依次为 $1, ~ 2, ~ 3$ ，它们的余子式分别为 $2, ~ 3, ~ 4$ ，则 $D=$
设行列式 $D=\left|\begin{array}{lll}3 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 5 \\ 0 & 3 & 6\end{array}\right|$ ，按第二行展开，则 $D=$
已知 $A \in R^{n \times n},|A|=3$ ，则 $\left|3\left(A^*\right)^{-1}\right|=$
行列式 $\left|\begin{array}{ccc}-3 & 1 & 5 \\ 4 & 6 & x \\ -4 & -1 & 2\end{array}\right|$ 中元素 $x$ 的余子式为
解答题 （共 21 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算
$$
\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
b+c & c+a & a+b
\end{array}\right|
$$
计算
$$
\left|\begin{array}{rrrr}
a & 1 & 0 & 0 \\
-1 & b & 1 & 0 \\
0 & -1 & c & 1 \\
0 & 0 & -1 & d
\end{array}\right|
$$
解方程
$\left|\begin{array}{ccc}x+1 & 2 & -1 \\ 2 & x+1 & 1 \\ -1 & 1 & x+1\end{array}\right|=0$
已知 $D=\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2\end{array}\right|$,
（1） $A_{12}+2 A_{22}+3 A_{32}$ ；(2) 求第 2 行各元素代数余子式之和.
计算$D=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 3 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 4
\end{array}\right|$
设 $A =\left[ \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right]$ 是 3 阶矩阵, 且 $| A |=4$, 若
$$
B =\left[ \alpha _1-3 \alpha _2+2 \alpha _3, \alpha _2-2 \alpha _3, 2 \alpha _2+ \alpha _3\right],
$$
则 $| B |=$
计算$\left|\begin{array}{llll}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right|$
用化成三角形行列式的方法, 计算三阶行列式 $\left|\begin{array}{ccc}1+x & 2 & 3 \\ 1 & 2+y & 3 \\ 1 & 2 & 3+z\end{array}\right|$, 其中 $x y z \neq 0$.
$\left|\begin{array}{cccc}
a & b & c & d \\
p & q & r & s \\
t & u & v & w \\
l a+m p & l b+m q & l c+m r & l d+m s
\end{array}\right|$
计算$D=\left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -1 & 3 \\
3 & -2 & 2 & 4 \\
0 & 1 & 1 & -5 \\
1 & 4 & -2 & 3
\end{array}\right|$
计算 $D=\left|\begin{array}{llll}2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right|$ ．
计算 $D=\left|\begin{array}{cccc}1+a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1-b\end{array}\right|$ ．
设4阶行列式
$$
D_4 \xlongequal{ }\left|\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 2 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -2 \\
3 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right|
$$
求：$A_{11}+A_{12}-A_{13}-2 A_{14}$（ $A_{i j}$ 是元素 $a_{i j}$ 的代数余子式）．
设4阶行列式
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & -1 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
-2 & 1 & 0 & 2 \\
1 & -1 & 1 & 1
\end{array}\right|
$$
已知 $n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
2 & 4 & 6 & \cdots & 2 n \\
1 & 2 & & & \\
1 & & 3 & & \\
\vdots & & & \ddots & \\
1 & & & & n
\end{array}\right|
$$
求：$S=A_{11}+A_{12}+\cdots+A_{1 n}$（不计算 $A_{1 j}$ 求 $S$ ）．
已知5阶行列式
$$
D_5=\left|\begin{array}{lllll}
1 & 2 & 1 & 2 & 3 \\
2 & 2 & 2 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 2 & 4 & 5 \\
1 & 1 & 1 & 2 & 2 \\
2 & 3 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right|=-9
$$
求：$S_1=A_{41}+A_{42}+A_{43}$ 及 $S_2=A_{44}+A_{45}$ ．
若行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & -1 & -2 & -2\end{array}\right|$ ，求 $M_{21}+M_{22}+M_{23}+M_{24}$ ，其中 $M_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的余子式。
设行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2\end{array}\right|$ ，则第四行各元素余子式之和为
设行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2\end{array}\right|$ ，则第四行各元素余子式之和为
已知 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 2 & -1 \\ -2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ -4 & 2 & 0 & 6\end{array}\right|$ ，求（1）$A_{12}-2 A_{22}+3 A_{32}-4 A_{42}$ ；（2）$A_{31}+2 A_{32}+A_{34}$ ．
计算4 阶行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 4 & 8 \\ 8 & 1 & 2 & 4 \\ 4 & 8 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 8 & 1\end{array}\right|$ 。