单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $n$ 阶方阵 $A$ 的秩 $r ( A )=r < n$, 那么在 $A$ 的 $n$ 个行向量中
$\text{A.}$ 必有 $r$ 个行向量线性无关.
$\text{B.}$ 任意 $r$ 个行向量都线性无关.
$\text{C.}$ 任意 $r$ 个行向量都构成极大线性无关向量组.
$\text{D.}$ 任意一个行向量都可以由其他 $r$ 个行向量线性表示.
设向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关, 向量 $\beta _1$ 可由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表示, 而向量 $\beta _2$ 不能由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表示, 则对于任意常数 $k$, 必有
$\text{A.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, k \beta _1+ \beta _2$ 线性无关.
$\text{B.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, k \beta _1+ \beta _2$ 线性相关.
$\text{C.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1+k \beta _2$ 线性无关.
$\text{D.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1+k \beta _2$ 线性相关
任意两个 $n$ 维向量组 $\alpha_1, \cdots \alpha_m$ 和 $\beta_1, \cdots, \beta_m$, 若存在两组不全为 0 的数 $\lambda_1, \cdots, \lambda_m$和 $k_1, \cdots, k_m$, 使得 $\left(\lambda_1+k_1\right) \alpha_1+\cdots+\left(\lambda_m+k_m\right) \alpha_m+\left(\lambda_1-k_1\right) \beta_1+\cdots+\left(\lambda_m-k_m\right) \beta_m= 0$,则
$\text{A.}$ $\alpha_1, \cdots \alpha_m$ 和 $\beta_1, \cdots, \beta_m$ 都线性相关.
$\text{B.}$ $\alpha_1, \cdots \alpha_m$ 和 $\beta_1, \cdots, \beta_m$ 都线性无关.
$\text{C.}$ $\alpha_1+\beta_1, \cdots, \alpha_m+\beta_m, \alpha_1-\beta_1, \cdots, \alpha_m-\beta_m$ 线性无关.
$\text{D.}$ $\alpha_1+\beta_1, \cdots, \alpha_m+\beta_m, \alpha_1-\beta_1, \cdots, \alpha_m-\beta_m$ 线性相关.
已知 $n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m(m>2)$ 线性无关, 则（）
$\text{A.}$ 对任意一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$, 都有 $k_1 \alpha_4+k_2 \alpha_2+\cdots+k_m \alpha_m=0$.
$\text{B.}$ $m < n$.
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 中少于 $m$ 个向量构成的向量组均线性相关.
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 中任意两个向量均线性无关.
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, 则以下向量组中线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, 2 \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2, \alpha_2+2 \alpha_3, \alpha_3+2 \alpha_1$.
$\text{C.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+\alpha_2+2 \alpha_3$.
$\text{D.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2+\alpha_3$.
已知向量
$$
\alpha_1=(1,-3,4), \alpha_2=(1,-2,2), \alpha_3=(1,-2,4), \alpha_4=(1,0,-2), \alpha_5=(0,1,1)
$$
则以下向量组中线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$.
$\text{C.}$ $\alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$.
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$.
设两个向量组 $a _1, a _2, \cdots, a _{ s }$ 和 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _s$ 均线性相关，则
$\text{A.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ 使 $\lambda_1 a _1+\lambda_2 a _2+\cdots+\lambda_s a _s=0$ 和 $\lambda_1 \beta_1+\lambda_2 \beta_2+\cdots \lambda_s \beta_s=0$
$\text{B.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_{ s }$ 使 $\lambda_1\left( a _1+ \beta _1\right)+\lambda_2\left( a _2+ \beta _2\right)+\cdots+\lambda_{ s }\left( a _{ s }+ \beta _{ s }\right)=0$
$\text{C.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ 使 $\lambda_1\left( a _1-\beta_1\right)+\lambda_2\left( a _2-\beta_2\right)+\cdots+\lambda_s\left( a _s-\beta_s\right)=0$
$\text{D.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ 和不全为 0 的数 $\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_s$ 使 $\lambda_1 a_1+\lambda_2 a_2+\cdots+$ $\lambda_s a _{ s }=0$ 和 $\mu_1 \beta _1+\mu_2 \beta _2+\cdots+\mu_{ s } \beta _{ s }=0$
n 维向量组 $a_1 \cdots \cdots a_i \quad(2 < I < n)$ 线性无关的充要条件是
$\text{A.}$ 存在一组不全为 0 的常数 $k_1 \cdots \cdots k_i$ 使 $k_1 a_1+\cdots \cdots+k_i a_i \neq 0$
$\text{B.}$ 该组中任意两向量都线性无关
$\text{C.}$ 该组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示
$\text{D.}$ 该组中任意向量都不能用其余向量线性表示
已知 4 维列向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。
$\text{A.}$ $\alpha _1- \alpha _2, \alpha _2- \alpha _3, \alpha _3- \alpha _4, \alpha _4- \alpha _1$
$\text{B.}$ $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _4, \alpha _4+ \alpha _1$
$\text{C.}$ $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3- \alpha _4, \alpha _4- \alpha _1$
$\text{D.}$ $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _4, \alpha _4- \alpha _1$
设向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 的秩为 $r(r < s)$ ，则下列说法错误的是 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 中至少有一个由 $r$ 个向量组成的部分组线性无关
$\text{B.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 中任何 $r$ 个线性无关向量组成的部分组与 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 是等价向量组
$\text{C.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 中任何 $r$ 个向量的部分组都线性无关
$\text{D.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 中任何 $r+1$ 个向量的部分组都线性相关
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
向量组 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{l}5 \\ 1 \\ 8\end{array}\right), \alpha_5=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)$ 的一个极大线性无关组是 .
设向量 $(2,-3,5)$ 与向量 $(-4,6, a)$ 线性相关，则 $a=$
下列命题是否正确？若正确．证明之，若错误，举出反例或说明理由。
（1） $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _m(m>2)$ 线性无关的充要条件是任意两个向量线性无关。
（2）若 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关．则 $\alpha _1- \alpha _2, \alpha _2- \alpha _3, \alpha _3- \alpha _1$ 也线性无关．
解答题 （共 18 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知向量组 $A : \alpha_1=\binom{1}{-1}, \alpha _2=\binom{2}{1}, B : \beta_1=\binom{2}{2}, \beta_2=\binom{3}{4}$, 判断向量组 $A , B$是否等价.
判断向量组 $B$ 能否由向量组 $A$ 线性表示, 如果可以, 求出表达式.
(1) $A : \alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha _2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), B : \beta_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \beta_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 3\end{array}\right)$;
(2) $A : \alpha_1=\binom{1}{2}, \alpha_2=\binom{2}{1}, B : \beta_1=\binom{2}{3}, \beta_2=\binom{-1}{4}$;
求向量组 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 3 \\ 5\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{l}4 \\ -2 \\ 5 \\ 6\end{array}\right)$ 的秩和一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表出.
设向量组 $A: a_1, a_2, a_3$ 线性无关, 向量 $b_1$ 能由向量组 $A$ 线性表示, 向量 $b_2$ 不能由向量组 $A$ 线性表示, $k$ 为任意常数. 问:
(1) 向量组 $a_1, a_2, a_3, k b_1+b_2$ 是否线性相关, 为什么?
(2) 向量组 $a _1, a _2, a _3, b _1+k b _2$ 是否线性相关, 为什么?
给定向量组 $a _1=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 3\end{array}\right), a _2=\left(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ 2 \\ 4\end{array}\right), a _3=\left(\begin{array}{c}3 \\ 0 \\ 2 \\ -1\end{array}\right), a _4=\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 4 \\ 9\end{array}\right)$ ．试判断 $a _4$ 是否为 $a _1, a_2, a_3$ 的线性组合；若是，则求出组合系数。
求矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}-3 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -2 & 4 \\ -2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & -4 & 2\end{array}\right)$ 的秩及其列向量的一个极大线性无关组．
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{array}\right)$ ，求矩阵 $A$ 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示．
若 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x-3 & x-2 & x-3 & x-4 \\ 2 x-3 & 2 x-2 & 2 x-3 & 2 x-4 \\ 3 x-4 & 3 x-3 & 4 x-5 & 3 x-5 \\ 4 x & 4 x-2 & 5 x-2 & 4 x+3\end{array}\right|$ ．
问方程 $f(x)=0$ 有几个根？
用 Laplace 定理计算
$$
D=\left|\begin{array}{cccccc}
0 & \cdots & 0 & a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \\
b_{11} & \cdots & b_{1 m} & c_{11} & \cdots & c_{1 n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{m 1} & \cdots & b_{m m} & c_{m 1} & \cdots & c_{m n}
\end{array}\right|
$$
计算 $D=\left|\begin{array}{cccc}1+a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1-b\end{array}\right|$ ．
计算下列4阶行列式
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 1 & a-1 \\
1 & -1 & a+1 & -1 \\
1 & a-1 & 1 & -1 \\
a+1 & -1 & 1 & -1
\end{array}\right|
$$
计算 $n$ 阶行列式：
$$
D=\left|\begin{array}{ccccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & (n-2) & (n-1) & n \\
1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & (n-2) & -(n-2) & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & (n-1) & -(n-1)
\end{array}\right|
$$
计算 $D=\left|\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
2 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
3 & 3 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
n-1 & n-1 & n-1 & \cdots & n-1 & n \\
n & n & n & \cdots & n & n
\end{array}\right| .$
计算 $$
D=\left|\begin{array}{lll}
101 & 100 & 302 \\
198 & 200 & 603 \\
301 & 300 & 901
\end{array}\right|
$$
设4阶行列式
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & -1 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
-2 & 1 & 0 & 2 \\
1 & -1 & 1 & 1
\end{array}\right|
$$
已知线性齐次方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
\lambda x_1+x_2 & =0 \\
2 x_1+x_3+x_4 & =0 \\
x_3+2 x_4 & =0 \\
x_1+\lambda x_3 & =0
\end{aligned}\right.
$$
有非零解，求 $\lambda=$ ？ ．
判断 $\alpha , \beta , \gamma$ 是否共面．
（1） $\alpha =(4,0,2), \beta =(6,-9,8), \gamma =(6,-3,3)$ ；
（2） $\alpha =(1,-2,3), \beta =(3,3,1), \gamma =(1,7,-5)$ ．
设 $\alpha =(5,2,5), \beta =(2,-1,2)$ ，求 $\alpha$ 在 $\beta$ 上的投影向量及投影向量的长．