单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
下列函数中, 在 $x=0$ 处不可导的是
$\text{A.}$ $f(x)=|x| \sin |x|$.
$\text{B.}$ $f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$.
$\text{C.}$ $f(x)=\cos |x|$.
$\text{D.}$ $f(x)=\cos \sqrt{|x|}$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$, 则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$ 时, $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=0$ 时, $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$.
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=0$.
已知 $y=\ln (1-x)$, 则 $\frac{d^n y}{d x^n}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{B.}$ $-\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} \frac{1}{(1-x)^n}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{(1-x)^n}$
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x \sin x}=-2$,则在 $x=0$ 处 $f(x) $
$\text{A.}$ 不可导.
$\text{B.}$ 可导, 且 $f^{\prime}(0) \neq 0$.
$\text{C.}$ 取极大值.
$\text{D.}$ 取极小值.
若函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处取得极大值，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 且 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{D.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 或 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 不存在
设 $b, k$ 为常数, 则函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}k x+b, x < 1 \\ \sqrt{1+x^2}, x \geq 1\end{array}\right.$, 可导的充分必要条件是
$\text{A.}$ $k=0, b=\sqrt{2}$.
$\text{B.}$ $k=\frac{\sqrt{2}}{2}, b=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\text{C.}$ $k=\sqrt{2}, b=0$.
$\text{D.}$ $k=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, b=\frac{\sqrt{2}}{3}$.
$\text{E.}$ $k+b=\sqrt{2}$.
填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$y=\frac{\arcsin x+\arccos x}{e^x}(-1 \leq x \leq 1)$, 求 $y^{(n)}$
设 $y=(1+\sin x)^x$, 则 $\left.d y\right|_{x=\pi}=$
设 $h>1$, 则点 $(0, h)$ 到曲线 $y=x^2$ 的最短距离为
若可导函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值, 则必有 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 等于
函数 $y=x^n e^{-x}(n>0, x \geq 0)$ 的单调增区间
设函数 $f(x)$ 可导, 且 $y=f\left(\sin ^2 x\right)+f\left(\cos ^2 x\right)$, 则 $\frac{d y}{d x}=$
$y=\tan f(x)+f(\tan x)$, 则 $y^{\prime}=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin ^2 x}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0\end{array}\right.$, 求 $f^{\prime}(x)$.
设常数 $a>0, a \neq 1$, 已知 $f(x)=a^{\ln x}+(\ln x)^a$, 求导数 $f^{\prime}(x)$ 。
求函数 $f(x)=\frac{\ln ^2 x}{x}$ 的单调区间和极值;
函数 $f(x)=x(1-x)^3$$(0 < x < 1)$ 在 $x=$ $\qquad$处取得极大值．
由方程 $x y=e^{x+y}$ 确定的隐函数的导数 $\frac{d y}{d x}=$
解答题 （共 22 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求导
(1) $y=\sqrt{a^2-x^2} $
(2) $y=(\arcsin x)^2$;
(3)$y=\ln \cos x$
求导
(1)$ y=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
(2)$ y=\ln \left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right)$
求导
(1) $y=\sin ^n x \cos n x$;
(2) $y=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$;
已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^t \sin t, \\ y=\mathrm{e}^t \cos t,\end{array}\right.$ 求当 $t=\frac{\pi}{3}$ 时 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 的值.
设函数 $f(x)=x \ln \left(1-x^2\right)$, 求 $f^{(11)}(0)$
设方程 $y=x \ln \left(x^2+y^2\right)$ 确定了一个二阶可导的隐函数 $y=y(x)$, 且 $y(1)=0$, 求 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{x=1}$.
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $e^{x+y}+\sin (x y)=1$ 确定, 求 $y^{\prime}(x)$ 以及 $y^{\prime}(0)$.
求导 $y=\ln x \cdot(\arcsin x)^2$
$y^x=x^y, x>0, y>0$, 求 $\frac{d y}{d x}$
$\left\{\begin{array}{c}x=\ln \sqrt{1+t^2} \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定 $y(x)$ 求 $\frac{d^2 y}{d x^2}$
$f(x)=x^2 \sin 2 x$ 求 $f^{(8)}(x)$
设 $f(x)=x^3+a x^2+b x+c$, 若点 $(1,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点, 且 $x=2$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，（I）常数 $a, b, c$ 的值；（II）求函数 $f(x)$ 的单调性区间和凹凸性区间；（III）求函数 $f(x)$ 的极值.
设函数 $y=y(x)$ 是由方程 $x y+e^y=x+1$ 确定的隐函数，求 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{x=0}$
求函数 $f(x)=x \sin x+\cos x$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 内的极值
设函数 $y(x)$ 由方程 $y=1-x e^y$ 确定，求 $\left.d y\right|_{x=0}$ 。
$y=e^x(\sin x+\cos x)$ ，求 $y^{\prime}$
设 $y=\ln \left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right)$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ ．
设 $y=\ln (\sec x+\tan x)$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ ．
$y=\arctan \frac{x+1}{x-1}$ ．
求导 $y=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$ ．
求正弦函数 $y=\sin (a x+b)$ 与余弦函数 $y=\cos (a x+b)$ 的 $n$ 阶导数．
求二阶导数 $y=\left(1+x^2\right) \arctan x$ ；