单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=x^{2}, 0 \leqslant x \leqslant 1$, 而
$$
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \pi x,-\infty < x < +\infty,
$$
其中 $b_{n}=2 \int_{0}^{1} f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x, n=1,2,3, \cdots$, 则 $S\left(-\frac{1}{2}\right)$ 等于
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$.
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}2(x-1), x < 1, \\ \ln x, \quad x \geq 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1, \\ x(\ln x-1), x \geq 1\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1, \\ x(\ln x+1)-1, x \geq 1\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1 \\ x(\ln x+1)+1, x \geq 1\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1, \\ x(\ln x-1)+1, x \geq 1\end{array}\right.$
设 $I=\int_0^1 \ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right) d x, J=\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} d x, K=\int_0^1 \arctan x d x$, 则 ( )
$\text{A.}$ $I < J < K$
$\text{B.}$ $K < J < I$
$\text{C.}$ $I < K < J$
$\text{D.}$ $J < K < I$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)=\pi x+x^{2}(-\pi < x < \pi)$ 的傅里叶级数展开式为 $\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$, 则其中系数 $b_{3}$ 的值为
设 $x^2=\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos n x(-\pi \leq x \leq \pi)$ ，则 $a_2=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x e^{x^2}, & -\frac{1}{2} \leq x < \frac{1}{2} \\ -1, & x \geq \frac{1}{2}\end{array}\right.$ ，则 $\int_{\frac{1}{2}}^2 f(x-1) \mathrm{d} x=$