填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$f(x)=e^{x^{2022}} \sin x$, 求 $f^{(2022)}(0)$
设 $y$ 是由方程 $y^3(x+y)=x^3$ 所确定的隐函数，计算 $\int \frac{1}{y^2} d x$
设 $y=\ln \left(x+\frac{1}{x}\right)$ ，求 $y^{\prime}$
设 $f(x)=\frac{e^x \arctan x}{x}$ ，求 $f^{\prime}(x)$
设函数 $f(x)$ 可导, 且 $y=f\left(\sin ^2 x\right)+f\left(\cos ^2 x\right)$, 则 $\frac{d y}{d x}=$
设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $f(0,0)=0, f_x^{\prime}(0,0)=1, f_y^{\prime}(0,0)$
$=2$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0}[1+f(x, 2 x)]^{\frac{1}{x}}=$
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算导数 $ f(x)=\sqrt{x^2+1}-\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right) \text {, 求 } f^{\prime}(x) $
计算 求由方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos ^3 t \\ y=a \sin ^3 t\end{array}\right.$ 表示的函数的二阶导数 ;
设 $y=\left(3 x^2-2\right) \sin 2 x$, 求 $y^{(100)}$ 。
求二阶导数 $ y=\mathrm{e}^{-t} \sin t $
求 $y=x^2 \sin 2 x$, 求 $y^{(50)}$.
求隐函数导数 $x y=\mathrm{e}^{x+y}$;
已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^t \sin t, \\ y=\mathrm{e}^t \cos t,\end{array}\right.$ 求当 $t=\frac{\pi}{3}$ 时 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 的值.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \mathrm{e}^t \\ y=\mathrm{e}^{-t}\end{array}\right.$ 在 $t=0$ 相应的点处的切线方程及法线方程.
设函数 $f(x)=x \ln \left(1-x^2\right)$, 求 $f^{(11)}(0)$
设 $f(x)=\left(x^2-3 x+2\right)^n \cos \frac{\pi x^2}{16}$, 求 $f^{(n)}(2)$.
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x y+e^y=x+1$ 确定, 求 $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{x=0}$.