一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x-5}{x^3 \sin \frac{1}{x^2}}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $-\frac{3}{8}$.
$\text{D.}$ 1
设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有定义, 且满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=-1$, 则下列正确的是 （ ）
$\text{A.}$ $f(0)=1$.
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=1$.
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=-1$.
$\text{D.}$ $f^{\prime}(0)=1$.
在下列区间内，函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{3 x}-1}{x(x-1)}$ 的有界的是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$.
$\text{C.}$ $(1,+\infty)$.
$\text{D.}$ 以上都不正确.
设 $f(x)=2^x+3^x-2$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, 有
$\text{A.}$ $f(x)$ 与 $x$ 是等价无穷小
$\text{B.}$ $f(x)$ 与 $x$ 同阶但非等价无穷小
$\text{C.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 高阶的无穷小
$\text{D.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 低阶的无穷小
设$f(x)=\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}+1}$则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 连续点
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a$, 且 $a \neq 0$, 则当 $n$ 充分大时有
$\text{A.}$ $\left|a_n\right|>\frac{|a|}{2}$.
$\text{B.}$ $\left|a_n\right| < \frac{|a|}{2}$.
$\text{C.}$ $a_n>a-\frac{1}{n}$.
$\text{D.}$ $a_n < a+\frac{1}{n}$.
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+3}{x+2}\right)^{2 x-1}=$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{x^2}$
求曲线 $y=\frac{1+x}{1-e^{-x}}$ 的渐近线个数
写出 $f(x)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1+x}{1+x^{2 n}}$ 的所有间断点及其所属类型
三、解答题 （ 共 15 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x)=\frac{x^2-(\sin x)^2}{x^4}$.
(1) 计算 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$;
(2) 证明: 当 $x \rightarrow \infty$ 时, $f(x)$ 是关于 $\frac{1}{x}$ 的 2 阶无穷小.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(a x+b x^2\right)}{x^2}=2$, 问 $a=?, \quad b=?$ 。
$ \lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\cos x}{\left(\mathrm{e}^{2 x}-1\right) \ln (1-x)}$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n \pi}\right)$.
计算 $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$
已知 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{a x^2+x-3}{x-1}=b$, 求常数 $a, b$ 的值.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x \cdot \tan x}\right)$.
求函数 $f(x)=\frac{4}{2-x^2}$ 的图形的渐近线.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$.
求极限
(1) $\lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \frac{1}{x}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\arctan x}{x}$.
计算下列极限：
(1) $\lim _{x \rightarrow 0}(1-x)^{\frac{1}{x}}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}$;
(3) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2 x}$;
(4) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k x}$
利用等价无穷小计算 $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^3 x} $
证明
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)=1 .
$$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x-1) e ^x+1}{x^2 \sqrt{1+x^2}}$.