夏翌航证明自己-数学组卷-自助组卷

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夏翌航证明自己

数学

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1.

y = f (x) = \frac{e^{x} + x \arctan x}{e^{x} + x - 1}

的渐近线条数是

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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2. 若

lim_{x \to 0} \frac{\sin 6 x + x f (x)}{x^{3}} = 0

, 则

lim_{x \to 0} \frac{6 + f (x)}{x^{2}}

为

A.

0

B.

6

C.

36

D.

\infty

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3. 设

f (x) = \int_{0}^{\sin x} \sin (t^{2}) d t, g (x) = x^{3} + x^{4}

, 则当

x \to 0

时,

f (x)

是

g (x)

的

A.

等价无穷小.

B.

同阶但非等价无穷小.

C.

高阶无穷小.

D.

低阶无穷小.

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4. 有以下命题: 设

lim_{x \to a} f (x)

存在,

lim_{x \to a} g (x)

不存在,

lim_{x \to a} h (x)

不存在,
(1)

lim_{x \to a} (f (x) g (x))

不存在
(2)

lim_{x \to a} (g (x) + h (x))

不存在
(3)

lim_{x \to a} (h (x) g (x))

不存在
(4)

lim_{x \to a} (g (x) + f (x))

不存在
则以上命题正确的个数是

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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5. 已知函数

f (x)

具有任意阶导数, 且

f^{'} (x) = [f (x)]^{2}

, 则当

n \geq 2

时,

f^{(n)} (x)

等于 ( )

A.

n! [f (x)]^{n + 1}

B.

[f (x)]^{n + 1}

C.

[f (x)]^{2 n}

D.

n! [f (x)]^{2 n}

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6. 当

x \to 0

时,

\ln (1 + x)

与

x

比较是 ( ).

A.

高阶的无穷小

B.

等价的无穷小

C.

同阶的无穷小

D.

低阶的无穷小

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7.

lim_{x \to 1} \frac{\int_{1} \frac{x \ln t}{1 + t} d t}{(x - 1)^{2}} = ()

.

A.

0

B.

\infty

C.

\frac{1}{4}

D.

1

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8. 设函数

f (x)

在

x = 0

的某个邻域内具有连续二阶导数, 且

lim_{x \to 0} \frac{f^{''} (x)}{e^{x} - 1} = 1

,则

f (x)

在

x = 0

处 ( ).

A.

有极值;

B.

无极值;

C.

无拐点;

D.

有拐点.

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9. 设函数

f^{'} (x)

连续, 则

\int f^{'} (2 x) d x = ()

.

A.

f (2 x) + c

;

B.

2 f (x) + c

;

C.

\frac{1}{2} f (2 x) + c

;

D.

x f (2 x) + c

.

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10. 求

lim_{n \to \infty} \frac{\sin \frac{π}{n}}{n + 1} + \frac{\sin \frac{2 π}{n}}{n + \frac{1}{2}} + \dots + \frac{\sin \frac{n π}{n}}{n + \frac{1}{n}}

.

A.

1;

B.

\frac{2}{π}

C.

\frac{π}{2}

D.

0

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 设函数

f (x) = e^{x} \cos x + e^{- x} \sin x

, 则

f^{(2023)} (0) =

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12. 在区间

[0, 1]

上,

f^{''} (x) > 0

，写出

f^{'} (0), f^{'} (1), f (1) - f (0)

的大小关系

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13. 求极限

lim_{x \to + \infty} \frac{\ln (x^{2} + 3 x + 1)}{\ln (x^{3} + 2 x + 1)}

;

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14.

lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{n^{2}}) =

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15. 若函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{\sin 2 x + e^{2 a x} - 1}{x}, & x \neq 0 \\ a, & x = 0 \end{cases}

在

(- \infty, + \infty)

内连续, 则

a =

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16. 当

x \to 0

时求

\frac{d}{d x} \int_{x^{2}}^{e^{x}} \ln t d t

值为

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三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 设

f (x)

在

[a, b]

上连续, 在

(a, b)

内可导且

f^{'} (x) \neq 0

证明:

\exists ξ, η \in (a, b)

，使得

\frac{f^{'} (ξ)}{f^{'} (η)} = \frac{e^{b} - e^{a}}{b - a} e^{- η}

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18. 求数列极限

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2 n^{2} + 1} + \frac{2}{2 n^{2} + 2} + \dots + \frac{n}{2 n^{2} + n})

.

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19. 求函数

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x (1 - \cos x)}

.

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20. 设函数

y = y (x)

由方程

x y + e^{y} = x + 1

确定, 求

{\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |}_{x = 0}

.

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21. 计算
(1)

\int \frac{x + 2}{(2 x + 1) (x^{2} + x + 1)} d x

;
(2)

\int \frac{2 x + 3}{(x - 1) (x^{2} - 1)} d x

.

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22. 计算

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} x \cos x d x

.

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23. 设函数

f (x)

在

[a, b]

上连续,

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} x f (x) d x = 0

,求证:

\exists ξ, η \in (a, b), (ξ \neq η)

, 使得

f (ξ) = 0, f (η) = 0

.

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11.8测试极限练习一测试卷具体名称

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