一、单选题 （共 2 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a$, 且 $a \neq 0$, 则当 $n$ 充分大时有
$\text{A.}$ $\left|a_n\right|>\frac{|a|}{2}$.
$\text{B.}$ $\left|a_n\right| < \frac{|a|}{2}$.
$\text{C.}$ $a_n>a-\frac{1}{n}$.
$\text{D.}$ $a_n < a+\frac{1}{n}$.
函数 $f(x)=(x-[x]) \sin 2 \pi x$ 是
$\text{A.}$ 偶函数
$\text{B.}$ 无界函数
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 单调函数
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3^n+2^n}{3^n+n^2}$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{n^2(n+1)^2}$
如果 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2+a x+b}{x^2-x-2}=2$, 则常数 $a=$ , $b=$
三、解答题 （ 共 11 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n \pi}\right)$.
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$
$\lim _{n \rightarrow \infty} 0 . \underbrace{999 \cdots 9}_{n \uparrow}=1$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5 n^3}$;
证明
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)=1 .
$$
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2^2} \cdots \cos \frac{x}{2^n}$
求极限$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^3}+\frac{1+2}{n^3}+\cdots+\frac{1+2+\cdots+n}{n^3}\right)$
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^3-1}{2^3+1} \cdot \frac{3^3-1}{3^3+1} \cdots \frac{n^3-1}{n^3+1}$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots \sqrt{2}}}}$
已知数列 $a_n=\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}$, 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$.
求数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2 n^2+1}+\frac{2}{2 n^2+2}+\cdots+\frac{n}{2 n^2+n}\right)$.