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极限练习一

数学

一、单选题（共 2 题），每题只有一个选项正确

1. 若

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

, 且

a \neq 0

, 则当

n

充分大时有

A.

| a_{n} | > \frac{| a |}{2}

.

B.

| a_{n} | < \frac{| a |}{2}

.

C.

a_{n} > a - \frac{1}{n}

.

D.

a_{n} < a + \frac{1}{n}

.

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2. 函数

f (x) = (x - [x]) \sin 2 π x

是

A.

偶函数

B.

无界函数

C.

周期函数

D.

单调函数

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

3.

lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})

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4.

lim_{n \to \infty} \frac{3^{n} + 2^{n}}{3^{n} + n^{2}}

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5.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}

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6.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}}

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7. 如果

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + a x + b}{x^{2} - x - 2} = 2

, 则常数

a =

,

b =

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三、解答题（共 11 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

8. 求极限

lim_{n \to \infty} n (\frac{1}{n^{2} + π} + \frac{1}{n^{2} + 2 π} + \dots + \frac{1}{n^{2} + n π})

.

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9. 证明

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

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10.

lim_{n \to \infty} 0 . \underset{n ↑}{\underset{⏟}{999 \dots 9}} = 1

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11.

lim_{n \to \infty} \frac{(n + 1) (n + 2) (n + 3)}{5 n^{3}}

;

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12. 证明

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}}) = 1 .

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13. 求极限:

lim_{n \to \infty} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2^{2}} \dots \cos \frac{x}{2^{n}}

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14. 求极限

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{3}} + \frac{1 + 2}{n^{3}} + \dots + \frac{1 + 2 + \dots + n}{n^{3}})

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15. 求极限:

lim_{n \to \infty} \frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \dots \frac{n^{3} - 1}{n^{3} + 1}

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16. 求极限

lim_{n \to \infty} 2^{n} \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots \sqrt{2}}}}

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17. 已知数列

a_{n} = \sqrt{1 + 2 + \dots + n} - \sqrt{1 + 2 + \dots + (n - 1)}

, 求

lim_{n \to \infty} a_{n}

.

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18. 求数列极限

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2 n^{2} + 1} + \frac{2}{2 n^{2} + 2} + \dots + \frac{n}{2 n^{2} + n})

.

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