单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+ e ^x\right)$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0 .
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3 .
当 $x>0$ 时, 曲线 $y=x \sin \frac{1}{x}$
$\text{A.}$ 有且仅有水平渐近线.
$\text{B.}$ 有且仅有铅直渐近线.
$\text{C.}$ 既有水平渐近线, 也有铅直渐近线.
$\text{D.}$ 既无水平渐近线, 也无铅直渐近线.
已知 $y=\ln (1-x)$, 则 $\frac{d^n y}{d x^n}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{B.}$ $-\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} \frac{1}{(1-x)^n}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{(1-x)^n}$
设在 $[0,1]$ 上 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 则下列顺序正确的是 ( ).
$\text{A.}$ $f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)>f(1)-f(0)$
$\text{B.}$ $f(1)-f(0)>f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1)>f(1)-f(0)>f^{\prime}(0)$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(1)>f(0)-f(1)>f^{\prime}(0)$
函数 $f(x)=x e^x$ 的带有皮亚诺型余项的 $n$ 阶麦克劳林公式为 ( ).
$\text{A.}$ $x e^x=x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o\left(x^n\right)$
$\text{B.}$ $x e^x=x+x^2+\frac{x^3}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{(n-1)!}+o\left(x^n\right)$
$\text{C.}$ $x e^x=x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)$
$\text{D.}$ $x e^x=x+x^2+\frac{x^3}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n-1}+o\left(x^n\right)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$y=\frac{\arcsin x+\arccos x}{e^x}(-1 \leq x \leq 1)$, 求 $y^{(n)}$
函数 $y=x^n e^{-x}(n>0, x \geq 0)$ 的单调增区间
若 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0-\Delta x\right)-f\left(x_0+\Delta x\right)}{\Delta x}=$
$y=\cos x$ 在 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 的切线方程
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right), \\ y=\int_1^t \frac{u \sin u^2}{1+u^2} d u\end{array}\right.$ 确定, 则 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{t=1}=$
设函数 $f(x)=1+\frac{x}{(x+1)^2}$, 请回答下列的问题:
函数 $y=f(x)$ 的单调增区间为
函数 $y=f(x)$ 极大值为
曲线 $y=f(x)$ 在极大值点处的曲率为
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
不用求出函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ 的导数, 说明方程 $f^{\prime}(x)=0$ 有几个实根，并指出它们所在的区间。
设 $a>b>0$, 证明:
$$
\frac{a-b}{a} < \ln \frac{a}{b} < \frac{a-b}{b} .
$$
求 函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 按 $(x-4)$ 的幕展开的带有拉格朗日余项的 3 阶泰勒公式.
设 $a_0+\frac{a_1}{2}+\cdots+\frac{a_n}{n+1}=0$, 证明多项式 $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个零点.
求由方程 $y^2+2 \ln y=x^4$ 所确定的隐函数 $y$ 的导数$\frac{d y}{d x}$
设 $\alpha(x)=x^3-3 x+2, \beta(x)=c(x-1)^n$,确定 $c$ 及 $n$, 使当 $x \rightarrow 1$ 时, $\alpha(x) \sim \beta(x)$
$y^x=x^y, x>0, y>0$, 求 $\frac{d y}{d x}$
$\left\{\begin{array}{c}x=\ln \sqrt{1+t^2} \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定 $y(x)$ 求 $\frac{d^2 y}{d x^2}$
$f(x)=x^2 \sin 2 x$ 求 $f^{(8)}(x)$
设函数 $y=y(x)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{c}e^y+t y=e \\ x=\ln (1+\sin t)\end{array}\right.$ 所确定, 求 $\frac{d y}{d x},\left.d y\right|_{t=0}$.