单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=\sqrt{2 x^2+4 x+1}$ 的渐近线的条数为 ( )
$\text{A.}$ 1 .
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ 3.
$\text{D.}$ 4.
设 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$, 则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 f\left( e ^{x^2}\right)}-\sqrt{1+f\left(1+\sin ^2 x\right)}}{\ln \cos x}$ 为
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $-a$
$\text{C.}$ $3 a$
$\text{D.}$ $-3 a$
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\int_0^{x^2}[1-\cos (x t)] d t$ 与 $x^n$ 为同阶无穷小, 则 $n$ 的值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
当 $x \rightarrow 0$ 时, $x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim c x^k$, 则 $c, k$ 分别是
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}, 3$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}, 2$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}, 2$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}, 3$.
已知数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_n}{2 n-1}\right)^{n^2 \sin \frac{1}{n}}=A>0$ ，且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n-k n\right)=B$（ $k$ 为常数）存在，则 $B=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $2 \ln A+1$
$\text{B.}$ $2 \ln A-1$
$\text{C.}$ $-A$
$\text{D.}$ $2 \ln A$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \cot x, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 的四阶麦克劳林公式为 $a+b x^2+c x^4+o\left(x^4\right)$ ，则 $a+b+$ $c=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{29}{45}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{8}{15}$
极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{1}{x} \int_0^x \frac{t^4+2}{\left(t^2+1\right)^2} d t\right]^{2 x}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $e ^{\frac{\pi}{4}}$
$\text{B.}$ $e ^{\frac{\pi}{2}}$
$\text{C.}$ $e ^{-\frac{\pi}{2}}$
$\text{D.}$ $e ^{-\frac{\pi}{4}}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x \sqrt{t} \cos t d t}{x}=$
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)\left(1+\frac{2 x}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n x}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=$
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{9 \pi}{4}} x|\sin x+\cos x|^3 d x=$
反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x \ln x}{\left(a^2+x^2\right)^2} d x=$ $\qquad$ $(a>0)$.
若函数 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x+l)=f(x), l>0$ ，则 $\int_{-l}^l f(x) \cos \frac{(2 n+1) \pi x}{l} d x=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=1+\frac{1}{2} \int_x^1 f(y) f(y-x) d y$, 求定积分 $I=\int_0^1 f(x) d x$.
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+a x+b x^2\right) \sqrt{1+x}-c}{(1-\cos x) \arctan x}=d$, 求常数 $a, b, c, d$ 的值.
求 $\int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\left(1-x^2\right)^2} d x$.
设可导函数 $f(x)$ 满足 $\int x^3 f^{\prime}(x) d x=x^2 \cos x-4 x \sin x-6 \cos x+C$, 且 $f(2 \pi)=\frac{1}{2 \pi}$, 求 $\int f(x) d x$.
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}(a-6) \sin x+x^a \cos \frac{1}{x}, & x>0, \\ a \ln (1-a x), & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处可导．
（1）求参数 $a$ ；
（2）令 $\varphi(x)=f(x)\left( e ^x-1\right)$ ，求 $\varphi^{\prime}(0), \varphi^{\prime \prime}(0)$ ．