单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{2}{3} x^3, x \leq 1 \\
x^2, x>1
\end{array}\right.
$$
则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的
$\text{A.}$ 左，右导数都存在．
$\text{B.}$ 左导数存在，右导数不存在．
$\text{C.}$ 左导数不存在，右导数存在．
$\text{D.}$ 左，右导数都不存在．
设 $f(x)=\frac{1+ e ^{-x^2}}{1- e ^{-x^2}}$ ，则 $f(x)$ ．
$\text{A.}$ 无渐近线
$\text{B.}$ 只有水平渐近线
$\text{C.}$ 只有铅直渐近线
$\text{D.}$ 既有水平渐近线又有铅直渐近线
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
计算 $ \lim _{x \rightarrow 0}(1-2 x)^{\frac{3}{\sin x}}=$
解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
函数 $y=\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right) \quad(x \geq 1)$ 的反函数是
$\int_1^e \frac{d x}{x \sqrt{1-(\ln x)^2}}$ ．
计算 $\int_0^a \frac{d x}{x+\sqrt{a^2-x^2}}$ ；
当参数 $p>0$ 满足什么条件时广义积分 $\int_1^{+\infty}\left(\frac{x}{x^2+p}-\right.$ $\left.\frac{p}{x+1}\right) d x$ 收敛？并求此时的广义积分值．
设 $I=\int_0^2 \frac{x}{e^x+e^{2-x}} d x$ ．
（I）证明 $I=\int_0^2 \frac{1}{e^t+e^{2-t}} d t$ ；
（II）求积分 $I$ 的值．
求 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{x} \cdot \frac{a^x-1}{a-1}\right)^{\frac{1}{x}}$ ，其中 $a>0, a \neq 1$ ．
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2^n+4^n+\cdots+20^n}$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{\cos ^2 x}^1 \sqrt{1+t^2} d t}{e^{x^2}-1}$
求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left( e ^x-1\right)^{\ln (1+\tan x)}$
设函数 $\varphi(x)$ 为连续的正函数，令 $f(x)=\int_{-a}^a|x-t| \varphi(t) d t, a>0$ ，判别 $f(x)$ 的图形在 $[-a, a]$ 上的凹凸性．
$\int \frac{\sin (\ln x)}{x} d x$
$\int \frac{1-x^6}{x\left(1+x^6\right)} d x$;
$\int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4} d x$;
$\int \frac{1}{x^2 \sqrt{a^2+x^2}} d x$;
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内连续，$f(1)=3$ ，又 $\forall x, y \in(0,+\infty)$ ，恒有
$$
\int_1^{x y} f(t) d t=y \int_1^x f(t) d t+x \int_1^y f(t) d t,
$$
求 $f(x)$ ．
设 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上连续，且有 $f(x)=\frac{x}{1+\cos ^2 x}+\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin x d x$ ，求 $f(x)$ ．