单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $n$ 阶方阵 $A , B , C$ 满足关系式 $A B C = E$, 其中 $E$ 是 $n$ 阶单位阵, 则必有
$\text{A.}$ $A C B = E$.
$\text{B.}$ $C B A = E$.
$\text{C.}$ $B A C = E$.
$\text{D.}$ $B C A = E$.
设 $n$ 阶矩阵 $A, B$ 满足 $A A^T=E, B B^T=E$, 其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵,则()
$\text{A.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总成立
$\text{B.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总不成立
$\text{C.}$ 当 $|A||B| < 0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
$\text{D.}$ 当 $|A||B|>0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
设 $A , B$ 均是 $n$ 阶矩阵，且 $A B = A + B$ ，则
$\text{A.}$ $A - E$ 为可逆矩阵
$\text{B.}$ $A + E$ 为可逆矩阵
$\text{C.}$ $A -2 E$ 为可逆矩阵
$\text{D.}$ $B + E$ 为可逆矩阵
设 $A = E -2 \alpha ^T \alpha$ ，其中 $\alpha =a_1, a_2, \cdots, a_n^{\prime}$ ，且 $\alpha \alpha ^T=1$ ，则 $A$ 不能满足的结论是
$\text{A.}$ $A ^T= A$
$\text{B.}$ $A ^T= A ^{-1}$
$\text{C.}$ $A A ^T= E$
$\text{D.}$ $A ^2= A$
设 $A , B$ 为任意方阵，则必有（ ）。
$\text{A.}$ $A B =0$ ，则 $A =0$ 或 $B =0$
$\text{B.}$ $( A B )^T= A ^T B ^T$
$\text{C.}$ $( A + B )( A - B )= A ^2- B ^2$
$\text{D.}$ $A ^2+ A B =0$ 且 $A$ 可逆，则 $A + B =0$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$, 则 $A^T B=$
求矩阵 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -5\end{array}\right]$ 的逆矩阵．
若三阶方阵 $A$ 的逆矩阵 $A -1=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\left( A _T\right)^{-1}=$
设 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$| A |=-1$ ，则 $| A + E |=$
$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right]^3\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]^5=$
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{cc}3 & -1 \\ -1 & 3\end{array}\right), E$ 为 2 阶单位矩阵，矩阵 $B$ 满足 $B A = B +2 E$ ，则 $|B|=$ $\qquad$
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & 1\end{array}\right)$, 求 $3 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}-2 \boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}$.
利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:
$$
\left(\begin{array}{rrrr}
3 & -2 & 0 & -1 \\
0 & 2 & 2 & 1 \\
1 & -2 & -3 & -2 \\
0 & 1 & 2 & 1
\end{array}\right)
$$
设矩阵 $A$ 与 $B$ 满足 $A B = A +2 B$, 其中 $A =\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4\end{array}\right)$, 求 $B$.
设 $\alpha =\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right], \beta =\left[\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 4\end{array}\right]$, 分别计算 $\alpha \beta ^{ T }, \beta \alpha ^{ T }, \alpha \alpha ^{ T }$ 及 $\beta ^{ T } \alpha , \alpha ^{ T } \beta , \alpha ^{ T } \alpha$.
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}4 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3\end{array}\right)$ ，求矩阵 $B$ 使其满足矩阵方程 $A B = A +2 B$ ．
设 $P=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right), \Lambda=\left(\begin{array}{ccc}1 & & \\ & 2 & \\ & & -3\end{array}\right)$ ， $A P=P \Lambda$ ．求 $\varphi(A)=A^3+2 A^2-3 A$ ．
设 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ ，问 $A$ 可逆的条件，并此时求 $A^{-1}$ ．
设 $A \in M_n$ ，且满足 $A^2-2 A+2 I=0$ ，问 $A+I$ 可逆否？若可逆，求 $(A+I)^{-1}$ ．
设 $A, B \in M_n$ ，且 $A, B, A+B$ 均可逆证明 $A^{-1}+B^{-1}$ 可逆，并求 $A^{-1}+B^{-1}$ 的逆矩阵．
已知 $A$ 是 $n$ 阶对称矩阵．且 $A$ 可逆若 $(A-B)^2=I$ ，化简 $(I+$ $\left.A^{-1} B^{ T }\right)^{ T }\left(I-B A^{-1}\right)^{-1}$ ．
设 $A, B \in M_3$ ，且满足 $A B+I=A^2+B$ ，又 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，
求矩阵 $B$ ．
把下面矩阵表示成初等矩阵的乘积并求出其逆矩阵。
$$
\left(\begin{array}{ccc}
4 & 1 & 2 \\
3 & 2 & 1 \\
5 & -3 & 2
\end{array}\right)
$$
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right]$ ，使用初等变换法求 $A^{-1}$
设 $\alpha=(1,0,-1), \beta=(1,0,2)$ ，求 $\alpha^T \beta, \beta \alpha^T,\left(\alpha^T \beta\right)^{2022}$ ．
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，判断矩阵 $A$ 是否可逆若可逆求其逆矩阵。
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A , B$ 是同阶可逆方阵，且 $A ^{-1}+ B ^{-1}$ 可逆，证明 $A + B$ 是可逆矩阵，并求 $( A + B )^{-1}$ ．
求证：（1）如果 $A^k=0$ ．那么 $E-A$ 可逆，并且
$(E-A)^{-1}=E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}$
（2）应用以上结论求 $\left[\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & b & 0 \\ 0 & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]^{-1}$
已知 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^2+5 A+6 I=0$ ，证明 $A-2 I$ 可逆，并求出其逆矩阵（用 $A$ 的多项式表示）．