单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & -1 & 2 x & -x \\ 3 & x & 4 & 1 \\ 2 & 0 & -x & -1 \\ -1 & 3 & 1 & x\end{array}\right|$ 中 $x^3$ 项的系数为
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -4
$\text{D.}$ 4
已知 $| A |=\left|\begin{array}{cccc}a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & 2\end{array}\right|=9$ ，则代数余子式 $A_{21}+A_{22}=$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 12
设 $| A |=\left|\begin{array}{cccc}2 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|$ ，则 $A_{31}+A_{32}+A_{33}+M_{34}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 2
填空题 （共 15 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
在五阶行列式中项 $a_{35} a_{53} a_{12} a_{41} a_{24}$ 的符号为
写出四阶行列式中含有因子 $a_{11} a_{23}$ 的项.
设 $A =\left[\begin{array}{lllll}0 & 0 & 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ ，则 $| A |$ 中所有元素的代数余子式之和为
求下列排列的逆序数及奇偶性：
（1） 25314
（2） 364512
（3）$n(n-1)(n-2) \cdots 21$
（4）$(2 n) 1(2 n-1) 2(2 n-2) 3 \cdots(n+1) n$
（1）在 5 阶行列式中，问项 $a_{12} a_{24} a_{35} a_{41} a_{53}$ 前面应冠以什么符号？
（2）写出在 5 阶行列式中，包含因子 $a_{24}, a_{31}$ 与 $a_{45}$ 且冠以负号的项．
求函数 $f(x)=\left|\begin{array}{rrrr}x & 1 & 1 & -1 \\ 1 & x & 2 & 1 \\ 1 & 2 & x & x \\ -1 & 3 & 2 & x\end{array}\right|$ 中 $x^3$ 项前的系数．
若三阶行列式 $D$ 中第 3 行的元素依次为 $1, ~ 2, ~ 3$ ，它们的余子式分别为 $2, ~ 3, ~ 4$ ，则 $D=$
设行列式 $D=\left|\begin{array}{lll}3 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 5 \\ 0 & 3 & 6\end{array}\right|$ ，按第二行展开，则 $D=$
求排列 $135 \cdots(2 n-1) 24 \cdots(2 n)$ 的逆序数．
行列式 $\left|\begin{array}{ccc}-3 & 1 & 5 \\ 4 & 6 & x \\ -4 & -1 & 2\end{array}\right|$ 中元素 $x$ 的余子式为
解答题 （共 21 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算
$$
\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
b+c & c+a & a+b
\end{array}\right|
$$
计算
$$
\left|\begin{array}{rrrr}
a & 1 & 0 & 0 \\
-1 & b & 1 & 0 \\
0 & -1 & c & 1 \\
0 & 0 & -1 & d
\end{array}\right|
$$
解方程
$\left|\begin{array}{ccc}x+1 & 2 & -1 \\ 2 & x+1 & 1 \\ -1 & 1 & x+1\end{array}\right|=0$
计算$D=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 3 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 4
\end{array}\right|$
计算$\left|\begin{array}{llll}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right|$
用化成三角形行列式的方法, 计算三阶行列式 $\left|\begin{array}{ccc}1+x & 2 & 3 \\ 1 & 2+y & 3 \\ 1 & 2 & 3+z\end{array}\right|$, 其中 $x y z \neq 0$.
选择 $k, l$ 使 $a_{13} a_{24} a_{34} a_{42} a_{3 l}$ 成为五阶行列式 $\left|a_{i j}\right|(i, j=1,2, \cdots, 5)$ 中前面冠以负号的项．
计算$\left|\begin{array}{cccc}
-1 & -1 & -1 & -1 \\
-1 & -1 & -1 & 1 \\
-1 & -1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right|$
$\left|\begin{array}{cccc}
a & b & c & d \\
p & q & r & s \\
t & u & v & w \\
l a+m p & l b+m q & l c+m r & l d+m s
\end{array}\right|$
计算$D=\left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -1 & 3 \\
3 & -2 & 2 & 4 \\
0 & 1 & 1 & -5 \\
1 & 4 & -2 & 3
\end{array}\right|$
计算 $D=\left|\begin{array}{llll}2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right|$ ．
计算 $D=\left|\begin{array}{cccc}1+a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1-b\end{array}\right|$ ．
设4阶行列式
$$
D_4 \xlongequal{ }\left|\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 2 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -2 \\
3 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right|
$$
求：$A_{11}+A_{12}-A_{13}-2 A_{14}$（ $A_{i j}$ 是元素 $a_{i j}$ 的代数余子式）．
设4阶行列式
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & -1 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
-2 & 1 & 0 & 2 \\
1 & -1 & 1 & 1
\end{array}\right|
$$
已知 $n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
2 & 4 & 6 & \cdots & 2 n \\
1 & 2 & & & \\
1 & & 3 & & \\
\vdots & & & \ddots & \\
1 & & & & n
\end{array}\right|
$$
求：$S=A_{11}+A_{12}+\cdots+A_{1 n}$（不计算 $A_{1 j}$ 求 $S$ ）．
已知5阶行列式
$$
D_5=\left|\begin{array}{lllll}
1 & 2 & 1 & 2 & 3 \\
2 & 2 & 2 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 2 & 4 & 5 \\
1 & 1 & 1 & 2 & 2 \\
2 & 3 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right|=-9
$$
求：$S_1=A_{41}+A_{42}+A_{43}$ 及 $S_2=A_{44}+A_{45}$ ．
若行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & -1 & -2 & -2\end{array}\right|$ ，求 $M_{21}+M_{22}+M_{23}+M_{24}$ ，其中 $M_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的余子式。
设行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2\end{array}\right|$ ，则第四行各元素余子式之和为
设行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2\end{array}\right|$ ，则第四行各元素余子式之和为
已知 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 2 & -1 \\ -2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ -4 & 2 & 0 & 6\end{array}\right|$ ，求（1）$A_{12}-2 A_{22}+3 A_{32}-4 A_{42}$ ；（2）$A_{31}+2 A_{32}+A_{34}$ ．
计算4 阶行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 4 & 8 \\ 8 & 1 & 2 & 4 \\ 4 & 8 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 8 & 1\end{array}\right|$ 。