单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & -1 & 2 x & -x \\ 3 & x & 4 & 1 \\ 2 & 0 & -x & -1 \\ -1 & 3 & 1 & x\end{array}\right|$ 中 $x^3$ 项的系数为
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -4
$\text{D.}$ 4
若 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1, \beta _2$ 都是 4 维列向量, 且 4 阶行列式 $\left| \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1\right|=m$, $\left| \alpha _1, \alpha _2, \beta _2, \alpha _3\right|=n$, 则 4 阶行列式 $\left| \alpha _3, \alpha _2, \alpha _1, \beta _1+ \beta _2\right|$ 等于
$\text{A.}$ $m+n$.
$\text{B.}$ $-(m+n)$.
$\text{C.}$ $n-m$.
$\text{D.}$ $m-n$.
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
在五阶行列式中项 $a_{35} a_{53} a_{12} a_{41} a_{24}$ 的符号为
求下列排列的逆序数及奇偶性：
（1） 25314
（2） 364512
（3）$n(n-1)(n-2) \cdots 21$
（4）$(2 n) 1(2 n-1) 2(2 n-2) 3 \cdots(n+1) n$
已知 $\tau\left(j_1 j_2 \cdots j_{n-1} j_n\right)=t$ ．求 $\tau\left(j_n j_{n-1} \cdots j_2 j_1\right)$ ．
（1）在 5 阶行列式中，问项 $a_{12} a_{24} a_{35} a_{41} a_{53}$ 前面应冠以什么符号？
（2）写出在 5 阶行列式中，包含因子 $a_{24}, a_{31}$ 与 $a_{45}$ 且冠以负号的项．
求函数 $f(x)=\left|\begin{array}{rrrr}x & 1 & 1 & -1 \\ 1 & x & 2 & 1 \\ 1 & 2 & x & x \\ -1 & 3 & 2 & x\end{array}\right|$ 中 $x^3$ 项前的系数．
求排列 $135 \cdots(2 n-1) 24 \cdots(2 n)$ 的逆序数．
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算
$$
\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
b+c & c+a & a+b
\end{array}\right|
$$
计算
$$
\left|\begin{array}{rrrr}
a & 1 & 0 & 0 \\
-1 & b & 1 & 0 \\
0 & -1 & c & 1 \\
0 & 0 & -1 & d
\end{array}\right|
$$
解方程
$\left|\begin{array}{ccc}x+1 & 2 & -1 \\ 2 & x+1 & 1 \\ -1 & 1 & x+1\end{array}\right|=0$
计算$D=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 3 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 4
\end{array}\right|$
计算$\left|\begin{array}{llll}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right|$
用化成三角形行列式的方法, 计算三阶行列式 $\left|\begin{array}{ccc}1+x & 2 & 3 \\ 1 & 2+y & 3 \\ 1 & 2 & 3+z\end{array}\right|$, 其中 $x y z \neq 0$.
选择 $k, l$ 使 $a_{13} a_{24} a_{34} a_{42} a_{3 l}$ 成为五阶行列式 $\left|a_{i j}\right|(i, j=1,2, \cdots, 5)$ 中前面冠以负号的项．
$\left|\begin{array}{cccc}
a & b & c & d \\
p & q & r & s \\
t & u & v & w \\
l a+m p & l b+m q & l c+m r & l d+m s
\end{array}\right|$
计算$D=\left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -1 & 3 \\
3 & -2 & 2 & 4 \\
0 & 1 & 1 & -5 \\
1 & 4 & -2 & 3
\end{array}\right|$
计算 $D=\left|\begin{array}{llll}2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right|$ ．
计算 $D=\left|\begin{array}{cccc}1+a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1-b\end{array}\right|$ ．
计算4 阶行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 4 & 8 \\ 8 & 1 & 2 & 4 \\ 4 & 8 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 8 & 1\end{array}\right|$ 。