单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B, A+B, A^{-1}+B^{-1}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\left(A^{-1}+B^{-1}\right)^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $A^{-1}+B^{-1}$
$\text{B.}$ $A+B$
$\text{C.}$ $A(A+B)^{-1} B$
$\text{D.}$ $(A+B)^{-1}$
设 $A, B$ 为同阶可逆矩阵，则
$\text{A.}$ $A B=B A$
$\text{B.}$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$
$\text{C.}$ 存在可逆矩阵 $C$ ，使 $C^T A C=B$
$\text{D.}$ 存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$ ，使 $P A Q=B$
设 $A=\left(\begin{array}{llll}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{llll}a_{14} & a_{13} & a_{12} & a_{11} \\ a_{24} & a_{23} & a_{22} & a_{21} \\ a_{34} & a_{33} & a_{32} & a_{31} \\ a_{44} & a_{33} & a_{42} & a_{41}\end{array}\right)$,
$P_1=\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right), P_2=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ， 其中 $A$ 可逆，则 $B^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $A^{-1} P_1 P_2$
$\text{B.}$ $P_1 A^{-1} P_2$
$\text{C.}$ $P_1 P_2 A^{-1}$
$\text{D.}$ $P_2 A^{-1} P_1$
设 $A$ 是 3 阶方阵，将 $A$ 的第 1 列与第 2 列交换得 $B$ ，再把 $B$ 的第 2 列加到第 3 列得 $C$ ，则满足 $A Q=C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位阵. 若 $A^3=O$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆
$\text{B.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{C.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{D.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆
设 $A, P$ 均为 3 阶矩阵， $P^T$ 为 $P$ 的转置矩阵，且 $P^T A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，若 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ， $Q=\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，则 $Q^T A Q$ 为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 为可逆矩阵，使得 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 则 $A\left(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\alpha_1+\alpha_2$
$\text{B.}$ $\alpha_2+2 \alpha_3$
$\text{C.}$ $\alpha_2+\alpha_3$
$\text{D.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2$
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5\end{array}\right)$ ，若下三角可逆矩阵 $P$ 和上三角可逆矩阵 $Q$ 使 $P A Q$ 为对角矩阵，则 $P, Q$ 可分别取为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $\boldsymbol{A}$ 是秩为 2 的 3 阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}$ 是满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=0$ 的非零向量，若对满足 $\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ 的 3 维向量 $\boldsymbol{\beta}$ ，均有 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $A^3$ 的迹为 2
$\text{B.}$ $A^3$ 的迹为 5
$\text{C.}$ $A^2$ 的迹为 8
$\text{D.}$ $A^2$ 的迹为 9
设 $\alpha =(1,0,2)^{ T }, \beta =(4,1,-2)^{ T }$. 记 $A = \alpha \beta ^{ T }$, 则下列矩阵中, 可以写成 $( E + A )^n(n$ 为 $\geqslant 2$ 的正整数) 的是 ( )
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}9 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & 0 \\ -16 & 4 & 7\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}13 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 24 & -6 & -11\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}13 & 3 & -6 \\ 0 & 1 & 0 \\ -24 & 6 & 11\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}17 & 4 & -8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 32 & 8 & -15\end{array}\right)$.
对 3 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A ^*$ 作以下初等变换: 先交换第一行与第三行, 再将第二列的 -2 倍加到第一列上得到 $- E$, 且 $| A |>0$, 则 $A$ 等于 $( s )$
$\text{A.}$ $-\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $-\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
下列矩阵中, 可以经过若干初等行变换得到矩阵 $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 的是
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 6\end{array}\right)$
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 满足关系式 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=6 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$, 其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{7}\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{B}=$
$\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]^{-1}=$
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & 7\end{array}\right), E$ 为 4 阶单位矩阵，且 $B=(E+A)^{-1}(E-A)$, 则 $(E+B)^{-1}=$
设矩阵 $A$ 满足 $A^2+A-4 E=O$ ，其中 $E$ 为单位矩阵，则 $(A-E)^{-1}=$
设 $A=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right) ， B=A^2-3 A+2 E$ ，则 $B^{-1}=$
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), B=P^{-1} A P$ ，其中 $P$ 为三阶可逆矩阵，则 $B^{2004}-2 A^2=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right) ， E$ 为二阶单位矩阵，矩阵 $B$ 满足 $B A=B+2 E$ ，则 $|B|=$
设 $A$ 为 3 阶矩阵，交换 $A$ 的第二行和第三行, 再将第二列的 -1 倍加到第一列，得到矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^{-1}$的迹 $\operatorname{tr}\left(A^{-1}\right)=$
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x_1+x_3=1 \\ x_1+a x_2+x_3=0 \\ x_1+2 x_2+a x_3=0 \\ a x_1+b x_2=2\end{array}\right.$ 有解, 其中 $a, b$ 为常数.若 $\left|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right|=4$ ，则 $\left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right|=$ $\qquad$
设 $A =\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right)$ ，可逆矩阵 $P$ 满足 $P ^{-1} A P = B$ ，则 $P =$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A$ 是 $n$ 阶可逆方阵，将 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行对换后得到的矩阵记为 $B$.
(1) 证明 $B$ 可逆;
(2) 求 $A B^{-1}$.
已知 $A, B$ 为 3 阶矩阵，且满足 $2 A^{-1} B=B-4 E$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 3 阶单位矩阵.
(1) 证明: 矩阵 $A-2 E$ 可逆;
(2) 若 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 求矩阵 $A$.
已知 $a$ 是常数，且矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化为矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$.
(1)求 $a$ ；
(2)求满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵.
(1) 令 $\boldsymbol{M}=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{2023}+(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{2022}+\cdots+(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^3+(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^2+\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$, 求矩阵 $\boldsymbol{M}$;
（2）求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{M P}=\boldsymbol{B}$.
矩阵 $A =\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 6\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & 5\end{array}\right]$, 已知存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P ^T A P = B$, 其中
$a$ 为未知参数, 则
(I) 求参数 $a$;
(II) 求可逆矩阵 $P$, 使得 $P ^T A P = B$.