单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为 2 阶可逆矩阵, $A^{-1}=\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)$. 将 $A$ 第一行的 2 倍加到第二行上, 得到矩阵 $B$, 则 $B^{-1}=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ll}a_{11}-\frac{1}{2} a_{12} & a_{12} \\ a_{21}-\frac{1}{2} a_{22} & a_{22}\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12}+\frac{1}{2} a_{11} \\ a_{21} & a_{22}+\frac{1}{2} a_{21}\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}a_{11}-2 a_{12} & a_{12} \\ a_{21}-2 a_{22} & a_{22}\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ll}a_{11}+2 a_{12} & a_{12} \\ a_{21}+2 a_{22} & a_{22}\end{array}\right)$.
设 $A , B$ 均是 $n$ 阶矩阵，且 $A B = A + B$ ，则（ ）．
$\text{A.}$ $A - E$ 为可逆矩阵
$\text{B.}$ $A + E$ 为可逆矩阵
$\text{C.}$ $A -2 E$ 为可逆矩阵
$\text{D.}$ $B + E$ 为可逆矩阵
设 $A$ 是方阵，如有矩阵关系式 $A B = A C$ ，则必有（ ）
$\text{A.}$ $A =0$
$\text{B.}$ $B \neq C$ 时 $A =0$
$\text{C.}$ $A \neq 0$ 时 $B=C$
$\text{D.}$ $|A |\ne 0$ 时 $B = C$
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $A ^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则（ ）。
$\text{A.}$ $\quad A ^*{ }^*=| A |^{n-1} A$
$\text{B.}$ $A ^*=| A |^{n+1} A$
$\text{C.}$ $A^*=|A|^{n-2} A$
$\text{D.}$ $A ^{* *}=| A |^{n+2} A$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{array}\right)$ 是三阶可逆矩阵，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}b_{12} & 2 b_{11} & -3 b_{13} \\ b_{22} & 2 b_{21} & -3 b_{23} \\ b_{32} & 2 b_{31} & -3 b_{33}\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 相似于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3\end{array}\right)$ ．
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3\end{array}\right)$ ．
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0\end{array}\right)$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均是 3 阶矩阵且 $\boldsymbol{A}$ 不可逆，又 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ 且 $r(\boldsymbol{B})=2$ ，则 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}|=$
$\text{A.}$ 0 ．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 4 ．
$\text{D.}$ 8 ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均是 $n$ 阶可逆矩阵，且 $\boldsymbol{A}^{-1} \sim \boldsymbol{B}^{-1}$ ，则下列结果
（1） $\boldsymbol{A B} \sim \boldsymbol{B A}$
（2） $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$
（3）$A^{2022} \sim B^{2022}$
（4） $\boldsymbol{A}^* \sim \boldsymbol{B}^*$
正确的个数为
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 4 ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是可逆矩阵，则分块矩阵 $X=\left(\begin{array}{cc}
A & 0 \\
0 & B
\end{array}\right)$ 逆矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}0 & A^{-1} \\ B^{-1} & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}0 & B^{-1} \\ A^{-1} & 0\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}A^{-1} & 0 \\ 0 & B^{-1}\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}B^{-1} & 0 \\ 0 & A^{-1}\end{array}\right)$
设A为n阶方阵，下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若A可逆，则A的伴随矩阵也可逆
$\text{B.}$ 若A的行列式为0，则A必有一行元素全为0
$\text{C.}$ 若A为对称矩阵，则A必可逆
$\text{D.}$ 若A为正交矩阵，则A的行列式必为1
设 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 均为 n 阶方阵，则下列结论正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $A B=0$ ，则 $A=0$ 或 $B=0$
$\text{B.}$ 若 AB 不可逆，则 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 都不可逆
$\text{C.}$ 若 AB 可逆，则 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 都可逆
$\text{D.}$ 若 $\mathrm{AB}=\mathrm{E}$ ，则 $\mathrm{BA}=\mathrm{E}$ 不一定成立
填空题 （共 11 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $A, B, C, D, H$ 为 $n$ 阶实矩阵，$I$ 是同阶单位矩阵，且 $A B C D H=I$ ，则 $C^{-1}=$
若三阶方阵 $A$ 的逆矩阵 $A -1=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\left( A _T\right)^{-1}=$
$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right]^3\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]^5=$
已知 3 阶行列式 $| A |$ 的元素 $a_{i j}$ 均为实数，且 $a_{i j}$ 不全为 0 ．若
$$
a_{i j}=-A_{i j}(i, j=1,2,3)
$$
其中 $A_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $| A |=$
设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $|A|=2$ ，则 $\left|A A^*\right|=$ $\qquad$
设 $\boldsymbol{B}$ 是 3 阶正交矩阵，且 $|\boldsymbol{B}| < 0, \boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}|=6$ ，则 $\left|\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|=$ $\qquad$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶非零矩阵， $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right)$ ，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ，又 $\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}$ 不可逆，则 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=$ $\qquad$
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=$ , $\left(\boldsymbol{A}^*\right)^{-1}=$
设矩阵 $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right)$ ，则 A 的逆矩阵 $\mathrm{A}^{-1}=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right)$ ，则行列式 $\left|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{-1}\right|=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 均可逆， $\boldsymbol{G}=\boldsymbol{E}-(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{-1}$ ，则 $\boldsymbol{G}^{-1}=$
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知矩阵 $X$ 满足 $2 X=A X + B$, 且 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)$, 求 $X$ 。
已知 $A =\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ ，写出 $A$ 可逆的一个充要条件，当 $A$ 可逆时，求 $A ^{-1}$ ．
设 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ ，问 $A$ 可逆的条件，并此时求 $A^{-1}$ ．
设 $A \in M_n$ ，且满足 $A^2-2 A+2 I=0$ ，问 $A+I$ 可逆否？若可逆，求 $(A+I)^{-1}$ ．
已知 $I+A B$ 可逆，证明 $I+B A$ 也可逆，且 $(I+B A)^{-1}=I-$ $B(I+A B)^{-1} A$ ．
设 $A \in M_n$ ，且满足 $A^2=0$ ．求证 $A+I$ 可逆，并求 $(A+I)^{-1}$ ．
设 $A, B \in M_n$ ，且 $A, B, A+B$ 均可逆证明 $A^{-1}+B^{-1}$ 可逆，并求 $A^{-1}+B^{-1}$ 的逆矩阵．
已知 $A$ 是 $n$ 阶对称矩阵．且 $A$ 可逆若 $(A-B)^2=I$ ，化简 $(I+$ $\left.A^{-1} B^{ T }\right)^{ T }\left(I-B A^{-1}\right)^{-1}$ ．
设 $A, B \in M_3$ ，且满足 $A B+I=A^2+B$ ，又 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，
求矩阵 $B$ ．
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B$ 满足 $A+B=A B$ ，
（1）证明 $E-B$ 可逆（ $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵）；（2）若 $A=\left(\begin{array}{lll}3 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求 $B$ ．
把下面矩阵表示成初等矩阵的乘积并求出其逆矩阵。
$$
\left(\begin{array}{ccc}
4 & 1 & 2 \\
3 & 2 & 1 \\
5 & -3 & 2
\end{array}\right)
$$
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right]$ ，使用初等变换法求 $A^{-1}$
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，判断矩阵 $A$ 是否可逆若可逆求其逆矩阵。
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 2 & 1 \\ 0 & -3\end{array}\right)$ ，满足 $A X-2 B=X$ ，求 X ．
（要求应用逆矩阵和矩阵乘法）
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶方阵， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 可逆，验证 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 的逆矩阵是 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}(\boldsymbol{E}+ \boldsymbol{A B})^{-1} \boldsymbol{A}$.
判断矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2\end{array}\right)$ 可逆，并求其逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ ．
求矩阵方程 $\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{X}+\boldsymbol{B}$ 的解，其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -1\end{array}\right)$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^2+5 A+6 I=0$ ，证明 $A-2 I$ 可逆，并求出其逆矩阵（用 $A$ 的多项式表示）．