单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 与 $B$ 为 $n$ 阶方阵, 且 $A B = O$, 则必有
$\text{A.}$ $A = O$ 或 $B = O$.
$\text{B.}$ $A B = B A$.
$\text{C.}$ $| A |=0$ 或 $| B |=0$.
$\text{D.}$ $| A |+| B |=0$.
设 $n$ 阶矩阵 $A, B$ 满足 $A A^T=E, B B^T=E$, 其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵,则()
$\text{A.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总成立
$\text{B.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总不成立
$\text{C.}$ 当 $|A||B| < 0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
$\text{D.}$ 当 $|A||B|>0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵， $E$ 为 $m$ 阶单位矩阵，则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $A ^{\top} A$ 是对称矩阵
$\text{B.}$ $A A ^{ T }$ 是对称矩阵
$\text{C.}$ $A ^{ T } A + A A ^{ T }$ 是对称矩阵
$\text{D.}$ $E + A A ^{ T }$ 是对称矩阵
$A , B$ 都是 n 阶矩阵，且 $A B =0$ ，则必有
$\text{A.}$ $A =0$ 或 $B =0$
$\text{B.}$ $| A |=| B |=0$
$\text{C.}$ $A = B =0$
$\text{D.}$ $| A |=0$ 或 $| B |=0$
设 $A$ 是方阵，如有矩阵关系式 $A B = A C$ ，则必有
$\text{A.}$ $A =0$
$\text{B.}$ $B \neq C$ 时 $A =0$
$\text{C.}$ $A \neq 0$ 时 $B = C$
$\text{D.}$ $| A | \neq 0$ 时 $B = C$
已知 $3 \times 4$ 矩阵 $A$ 的行向量组线性无关，则秩 $\left( A ^{ T }\right)$ 等于（ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $f(x)=x^2-5 x+3, A =\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -3 & 3\end{array}\right]$ ，定义 $f( A )= A ^2-5 A +3 E$ ，称其为矩阵 $A$ 的多项式，则 $f( A )=$
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 3 & 3\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -1 & 0\end{array}\right]$
设 $f(x)=x^2-5 x+3, A =\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -3 & 3\end{array}\right]$ ，定义 $f( A )= A ^2-5 A +3 E$ ，称其为矩阵 $A$ 的多项式，则 $f( A )=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 3 & 3\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -1 & 0\end{array}\right]$
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，下列选项错误的是（ ）。
$\text{A.}$ $A A ^T= A ^T A$
$\text{B.}$ $(A+E)^2=A^2+2 A+E$
$\text{C.}$ $A ^2{ }^n= A ^{n^2}$
$\text{D.}$ $E + A E - A = E - A E + A$
设 $A = E -2 \alpha ^T \alpha$ ，其中 $\alpha =a_1, a_2, \cdots, a_n^{\prime}$ ，且 $\alpha \alpha ^T=1$ ，则 $A$ 不能满足的结论是
$\text{A.}$ $A ^T= A$
$\text{B.}$ $A ^T= A ^{-1}$
$\text{C.}$ $A A ^T= E$
$\text{D.}$ $A ^2= A$
设 $A , B$ 为任意方阵，则必有（ ）。
$\text{A.}$ $A B =0$ ，则 $A =0$ 或 $B =0$
$\text{B.}$ $( A B )^T= A ^T B ^T$
$\text{C.}$ $( A + B )( A - B )= A ^2- B ^2$
$\text{D.}$ $A ^2+ A B =0$ 且 $A$ 可逆，则 $A + B =0$
设有矩阵 $A_{m \times l}, B_{l \times n}, C_{n \times m}$ ，则下列运算可行的是（）
$\text{A.}$ $A B+C$
$\text{B.}$ $A^T B^T+C$
$\text{C.}$ $B^T A^T+C$
$\text{D.}$ $A^T B+C$
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$, 则 $A^T B=$
已知矩阵 $A$ 和 $E-A$ 可逆, 其中 $E$ 为单位矩阵。若矩阵 $B$ 满足 $\left(E-(E-A)^{-1}\right) B=A$, 则 $B-A=$
设 $A = E -2 \xi \xi ^{ T }$ ，其中 $\xi =\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]^{ T }$ ，且 $\xi ^{ T } \xi =1$ ．证明：
（1） $A$ 是对称矩阵；
（2） $A ^2= E$ ；
（3） $A$ 是正交矩阵．
若 $A$ 为三阶方阵，且 $| A |=2$ ，则 $|-2 A _T|=$
设 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$| A |=-1$ ，则 $| A + E |=$
$\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -6 & -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{array}\right)=$ $\qquad$
设 $\boldsymbol{\alpha}=(1,2), \boldsymbol{\beta}=(2,1), \boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ ，则 $\boldsymbol{A}=$ ________ , $\boldsymbol{A}^n=$ ________
设 $\alpha=(1,2), \beta=(1,-1)$ ，则 $\alpha \beta^{\mathrm{T}}=$ $\_\_\_\_$ $\left(\alpha^{\mathrm{T}} \beta\right)^{999}=$ $\_\_\_\_$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & 1\end{array}\right)$, 求 $3 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}-2 \boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}$.
设 $\alpha =\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right], \beta =\left[\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 4\end{array}\right]$, 分别计算 $\alpha \beta ^{ T }, \beta \alpha ^{ T }, \alpha \alpha ^{ T }$ 及 $\beta ^{ T } \alpha , \alpha ^{ T } \beta , \alpha ^{ T } \alpha$.
$A=\left(\begin{array}{cccc}a & b & c & d \\ -b & a & -d & c \\ -c & d & a & -b \\ -d & -c & b & a\end{array}\right)$, 求 $|A|$ 。
设 $A =\left[\begin{array}{cc}3 & 4 \\ -1 & -2\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -3 & -2\end{array}\right]$ ，计算 $A ^2- B ^2,( A - B )( A + B )$ ．
$A=\left(a_1 a_2 \cdots a_n\right), B=\left(b_1 b_2 \cdots b_n\right)$ ，
求 $(1) A B^{ T }, A^{ T } B$ ；（2）令 $C=A^{ T } B$ ，求 $C^k$ ．
已知 $A=\left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，求与 $A$ 可交换的矩阵．
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), A-2 B=A B$ ，求矩阵 $B$
设 $\alpha=(1,0,-1), \beta=(1,0,2)$ ，求 $\alpha^T \beta, \beta \alpha^T,\left(\alpha^T \beta\right)^{2022}$ ．
已知 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha$ ：均为 3 维列向量，记矩阵为 $A = \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ ，如果 $| A |=1$ ， $B=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2+4 \alpha_3, \alpha_1+3 \alpha_2+9 \alpha_3$ ，那么 $|B|=$ $\qquad$
求矩阵方程 $\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{X}+\boldsymbol{B}$ 的解，其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -1\end{array}\right)$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求证： n 阶对称矩阵 $A$ 是零矩阵的充要条件是对任意的 n 维列向量 $\alpha$ ，有 $\alpha^{\prime} A \alpha=0$