单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $A ^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵, 则 $\left| A ^*\right|=$
$\text{A.}$ $| A |^{n-1}$.
$\text{B.}$ $| A |$.
$\text{C.}$ $| A |^n$.
$\text{D.}$ $| A |^{-1}$.
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 非奇异 $(n \geq 2), A ^*$ 足矩阵 $A$ 的伴随矩阵, 则
$\text{A.}$ $\left( A ^*\right)^{*}=| A |^{n-1} A$.
$\text{B.}$ $\left( A ^*\right)^*=| A |^{n+1} A$.
$\text{C.}$ $\left( A ^*\right)^*=| A |^{n-2} A$.
$\text{D.}$ $\left( A ^*\right)^*=| A |^{n+2} A$.
设 $A=\left(\begin{array}{lll}9 & x & 1 \\ x & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right), A^*$ 为方阵 $A$ 的伴随矩阵, 且 $A^* x=0$ 只有零解, 则
$\text{A.}$ $x=-4$;
$\text{B.}$ $x=6$;
$\text{C.}$ $x=-4$ 或 $x=6$;
$\text{D.}$ $x \neq-4$ 且 $x \neq 6$.
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵, 且 $| A |=1$, 则 $\left( A ^*\right)^*=(\quad)$.
$\text{A.}$ $A ^{-1}$
$\text{B.}$ $- A$
$\text{C.}$ $A$
$\text{D.}$ $A ^2$
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right), M_{3 j}$ 是 $A$ 的第 3 行第 $j$ 列元素的余子式 $(j=1,2,3,1)$.则 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ -2 .
$\text{D.}$ -3 .
设 $A, B$ 是三阶可逆矩阵, $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵, 若 $|A|=2$, 则
$$
\left(A^* B^{-1} A\right)^{-1}=
$$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} A^{-1} B A$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{8} A^{-1} B A$.
$\text{C.}$ $2 A^{-1} B A$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} A B A^{-1}$.
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 4\end{array}\right), A ^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $A ^*$ 中位于 $(1,2)$ 的元素是
$\text{A.}$ -6
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
设 $A$ 为 n 阶可逆矩阵，则下列结论错误的是（）
$\text{A.}$ $\left(A^*\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^*$
$\text{B.}$ $\left|A^*\right|=|A|^{n-1}$
$\text{C.}$ $(k A)^*=k^{n-1} A^*$
$\text{D.}$ 若 $|A|=0$ ，则 $A^*=0$
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 4\end{array}\right), A$＊是 $A$ 的伴随矩阵，则 $A$＊中位于 $(1,2)$ 的元素是（ ）
$\text{A.}$ -6
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵， $A ^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，$k \neq 0, k \neq \pm 1$ ，则 $k A ^*$ 等于（ ）。
$\text{A.}$ $k A ^*$
$\text{B.}$ $\frac{1}{k} A^*$
$\text{C.}$ $k^{n-1} A^*$
$\text{D.}$ $k^n A ^*$
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设矩阵 $A$ 为 3 阶矩阵, 若已知 $|\boldsymbol{A}|=-3$, 则 $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=$
$A=\left(\begin{array}{lllll}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right)$, 则 $\left(A^*\right)^{-1}=$
设 $A$ 是 3 阶矩阵，已知 $A ^{-1}=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right]$ ，则 $\left| A ^*\right|=$ $\qquad$ ．
设 $A , B$ 是 $n$ 阶方阵，$| A |=2,| B |=-4$ ，则 $\left|2 B ^* A ^{-1}\right|=$ $\qquad$
设 3 阶矩阵 $A$ 满足 $|A|=2$ ，则 $\left|A^*\right|=$ $\qquad$ （其中 $A^*$ 为伴随矩阵）
已知 $A^{-1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，则 $2 A^{*-1}=$ $\qquad$ $3 A^*=$
已知 $A$ 是 3 阶矩阵， $A$ 是 $A$ 的伴随矩阵，如果矩阵 $A$ 的特征值是 $1,2,3$ ，那么矩阵（ $A ^*$ ）＊的最大特征值是 $\qquad$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 2 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^*, \boldsymbol{B}^*$ 分别是 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵，若 $|\boldsymbol{A}|=1,|\boldsymbol{B}|=2$ ，则分块矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为 $\qquad$ ．
设 A 为 3 阶正交矩阵，且 $|\mathrm{A}|=1$ ，则 $|\mathrm{A} *|=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $\mathrm{A} *$ 是 A的伴随矩阵。
$2 \times 2$ 矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*=$
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵, $|\boldsymbol{A}|=\frac{1}{2}$, 求 $\left|(2 \boldsymbol{A})^{-1}-5 \boldsymbol{A}^*\right|$.
设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda}$, 其中 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{\Lambda}=\left(\begin{array}{lll}-1 & & \\ & 1 & \\ & & 5\end{array}\right)$,求 $\varphi(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}^8\left(5 \boldsymbol{E}-6 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^2\right)$.
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随阵为 $\boldsymbol{A}^*$, 证明:
（1）若 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=0$ ；
（2）$\left|\boldsymbol{A}^*\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$.
设三阶方阵 $A , B$ 满足 $A ^2 B - A - B = E$, 其中 $E$ 为单位矩阵, $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right)$, 求 $| B |$.
已知 $A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right)$,求$A^{-1}$
已知 $A ^3= O$, 求 $( A + E )^{-1}$.
设
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right)
$$
为实数域 $R$ 上的 $3 \times 3$ 不可逆方阵. 若 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 为
$$
A^*=\left(\begin{array}{lll}
a_{11}^2 & a_{12}^2 & a_{13}^2 \\
a_{21}^2 & a_{22}^2 & a_{23}^2 \\
a_{31}^2 & a_{32}^2 & a_{33}^2
\end{array}\right),
$$
求 $A$.
设 $A^{-1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right)$, 求 $\left(A^*\right)^{-1}$.
证明：（1）若 $|A|=1$ ，则 $A$ 为正交矩阵 $\Leftrightarrow A$ 的每个元素都等于该元素的代数余子式．
（2）若 $|A|=-1$ ，则 $A$ 为正交矩阵 $\Leftrightarrow A$ 的每个元素都等于该元素的代数余子式乘以 $(-1)$ ．
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & -1\end{array}\right)$ ，问 $A$ 可逆否，若可逆，求 $A^{-1}$ ．
设 4 阶矩阵
$$
B=\left(\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{llll}
2 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right)
$$
且矩阵 $A$ 满足关系式 $A\left(I-C^{-1} B\right)^{ T } C^{ T }=I$ ，求矩阵 $A$ ．