单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)=x e^x$ 的带有皮亚诺型余项的 $n$ 阶麦克劳林公式为 ( ).
$\text{A.}$ $x e^x=x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o\left(x^n\right)$
$\text{B.}$ $x e^x=x+x^2+\frac{x^3}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{(n-1)!}+o\left(x^n\right)$
$\text{C.}$ $x e^x=x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)$
$\text{D.}$ $x e^x=x+x^2+\frac{x^3}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n-1}+o\left(x^n\right)$
利用泰勒公式，当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=1-\cos x \cos 2 x \cos 3 x$ 的等价无穷小为（ ）。
$\text{A.}$ $5 x^2$
$\text{B.}$ $7 x^2$
$\text{C.}$ $-5 x^2$
$\text{D.}$ $-7 x^2$
设 $f(x), g(x)$ 是恒大于零的可导函数，且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0$ ，则当 $a < x < b$ 时，下列结论成立的是（ ）
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
设 $f(x)=x e^{-x}$ ，则 $f^{(n)}(x)=$
$\text{A.}$ $(-1)^n(1+n) x e^{-x}$ ；
$\text{B.}$ $(-1)^n(1-n) x e^{-x}$ ；
$\text{C.}$ $(-1)^n(x+n) e^{-x}$ ；
$\text{D.}$ $(-1)^n(x-n) e^{-x}$ 。
设 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内具有连续的四阶导数，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)=0, f^{(4)}\left(x_0\right)>0$ ，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 在点 $x_0$ 取极小值；
$\text{B.}$ 点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 为曲线 $y=f(x)$ 的拐点；
$\text{C.}$ $f(x)$ 在点 $x_0$ 取极大值；
$\text{D.}$ $f(x)$ 在点 $x_0$ 某邻域单调增加。
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f(a+h)=f(a)+f^{\prime}(a) h+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2} h^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!} h^n+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!} h^{n+1}(0 < \theta < 1)$,若 $f^{(n+2)}(x)$ 连续, 且 $f^{(n+2)}(x) \neq 0$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \theta=$
按 $(x-4)$ 的幕展开多项式 $f(x)=x^4-5 x^3+x^2-3 x+4$.
若 $f(x)=\mathrm{e}^{2012 x} x(x+1)(x+2) \cdots(x+2012)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$
解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 按 $(x+1)$ 的幂展开的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right] .$
求极限$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}}{\left(\cos x-e^{x^2}\right) \sin x^2}$
已知函数 $f(x)=\left( e ^x+1\right) x^2$ ，试求 $f(x)$ 的 $n$ 阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式，并求 $f^{(5)}(0)$ ．
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3 x^2}-\sqrt[4]{x^4-2 x^3}\right)$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}}{\left(\cos x-e^{x^2}\right) \sin x^2}$
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right] .$
设 $y=\sin 2 x \cos 3 x \cos 4 x$ ，求 $y^{(n)}$ ．
设 $y=x^2 \cos 2 x$ ，求 $y^{(2014)}(0)$ ．
求$f(x)=x^3 \ln x$ 在 $x_0=1, n=4$ 得拉格朗日余项；
设 $f(x)$ 为多项式，并满足方程 $x f^{\prime \prime}(x)+(1-x) f^{\prime}(x)+3 f(x)=0, f(0)=1$ ，求 $f(x)$ ．
设 $0 < a < 1$ ，比较 $\cos (\sqrt{2} \cdot a)$ 与 $\sqrt{1+a^4}-a^2$ 的大小．
已知 $f(x)=x(x-1)(x-2) \cdots(x-n)$ ，求 $f^{(n)}(x)$ ．
利用皮亚诺型泰勒公式，极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}=$
考虑参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t \\ y=t \cos t\end{array}\right.$ ，求 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{t=0}$ ．
写出 $f(x)=\cos (2 x) \ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处带皮亚诺余项的 4 阶泰勒公式．
设 $f(x)=x^2 e^{3 x+2}$ ，求 $f^{(n)}(x)$ ．
设 $(1+\sqrt{3})^n=a_n+\sqrt{3} b_n\left(a_n, b_n \in \mathbb{N}^{+}\right)$
（1）证明：$a_{n+1}=a_n+3 b_n, b_{n+1}=a_n+b_n$
（2）求 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_n}{b_n}$
求函数 ${f}({x})={x}^3-3 {x}^2+2 {x}$ 在 ${x}=1$ 处的泰勒展开式。