单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A , B$ 为 $n$ 阶矩阵, 记 $r ( X )$ 为矩阵 $X$ 的秩, $( X \quad Y )$ 表示分块矩阵, 则
$\text{A.}$ $r ( A \quad A B )= r ( A )$.
$\text{B.}$ $r ( A \quad B A )= r ( A )$.
$\text{C.}$ $r ( A \quad B )=\max \{ r ( A ), r ( B )\}$.
$\text{D.}$ $r \left(\begin{array}{ll} A & B \end{array}\right)= r \left(\begin{array}{ll} A ^{ T } & B ^{ T }\end{array}\right)$.
若矩阵 $\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & t & 0 \\ 0 & -4 & 5 & -2\end{array}\right]$ 的秩为 2 ，则 $t=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
选择题：设 $A \in M_{m, n}$ ，且 $m < n$ ．则
$\text{A.}$ $\left|A A^{ T }\right|=0$
$\text{B.}$ $\left|A A^{ T }\right| \neq 0$
$\text{C.}$ $\left|A^{ T } A\right|=0$
$\text{D.}$ $\left|A^{ T } A\right| \neq 0$
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right]$ ，则 $r(A+B)=()$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知 $3 \times 4$ 矩阵 $A$ 的行向量组线性无关，则秩（ $A ^{ T }$ ）等于（ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设三阶矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right)$ ，且 $r A ^*=1$ ，则必有
$\text{A.}$ $a=b$ 或 $a+2 b=0$
$\text{B.}$ $a=b$ 或 $a+2 b \neq 0$
$\text{C.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b=0$
$\text{D.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b \neq 0$
设 A 为 $m \times n$ 矩阵， B 为 $n$ 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r ，矩阵 AB 的秩为 $r_1$ ，则
$\text{A.}$ $r=r_1$
$\text{B.}$ $r>r_1$
$\text{C.}$ $r < r_1$
$\text{D.}$ r 与 $r_1$ 之间没有关系
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $R(\boldsymbol{A})=2$ ，则 $R\left(\boldsymbol{A}^*\right)=$ ．
$\text{A.}$ 0 ；
$\text{B.}$ 1 ；
$\text{C.}$ 2 ；
$\text{D.}$ 3 ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ -a & -1 & a-1 \\ 3 & 1 & -2\end{array}\right]$ 的秩为 2 ，则 $a=$
已知线性方程组 $A X =\beta$ 有解，若系数矩阵的秩 $r ( A )=4$ ，则增广矩阵的秩 $r (\overline{ A })=$
设 $A$ 为 $4 \times 3$ 矩阵，且 $r(A)=2$ ，则 $r\left(A^T A\right)=$
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 3 & -1\end{array}\right)$ ，则矩阵 $A$ 的秩等于
设 $A$ 是 5 阶方阵，且 $A ^2= O$ ，则 $r\left( A ^*\right)=$
若 $A =\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，则 $A ^3=$
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $A , B$ 是 2 阶矩阵, 且 $| A |=2,| B |=3$, 化简 $\left(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} O & 2 B ^* \\ 3 A ^* & O \end{array}\right)$.
求$A =\left(\begin{array}{llll}
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 \\
1 & 5 & 0 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 0
\end{array}\right)$ 逆矩阵
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccccc}1 & -2 & -1 & 0 & 2 \\ -2 & 4 & 2 & 6 & -6 \\ 2 & -1 & 0 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 4\end{array}\right)$ ．
求：（1）秩（A）；
（2） $A$ 的列向量组的一个最大线性无关组。
设
$$
A =\left[\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right],
$$
求 $A ^{-1}$ ．
设矩阵
$$
A =\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
-1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & a
\end{array}\right], \quad B =\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
（1）当 $a$ 为何值时，矩阵 $A$ 和 $B$ 等价；
（2）当 $A$ 和 $B$ 等价时，求一个可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A = B$ ．
设 $A \in M_n, r(A)=1$ ．求证：
（1）$A=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)$（其中 $a_i$ 不全为 $0, b_i$ 也不全为 $0, i=1$ ， $2, \cdots, n)$ ．
（2）$A^2=k A$（ $k$ 为常数）．
设 $A, B \in M_n$ ．且 $A^2-2 A B=I$ ，求 $r(A B-B A+A)$
解矩阵方程 $A X = B$ ，其中 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 3 & 1 \\ 4 & 3\end{array}\right)$
设 $r, s$ 为正整数，分块矩阵 $A$ 为
$$
A=\left[\begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12} \\
O & A_{22}
\end{array}\right]
$$
其中 $A_{11}, A_{22}$ 分别为 $r$ 阶，$s$ 阶的方阵，$O$ 为 $s \times r$ 零矩阵。求证：
（1）$A$ 可逆的充分必要条件是 $A_{11}$ 与 $A_{22}$ 都可逆；
（2）当 $A$ 可逆时，用 $A_{11}, A_{12}, A_{22}$ 给出 $A^{-1}$ 的表达式。
求矩阵 $A =\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 3\end{array}\right)$ 的秩．
设 $n$ 阶矩阵 A 满足 $A^3=0$ ，证明 I－A 可逆，并求其逆矩阵。
若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrrrr}3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -9 & 3\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^n=$
设 A 为 n 阶矩阵，且 $\mathrm{A}^2=\mathrm{E}$ ，证明： $\mathrm{r}(\mathrm{A}+\mathrm{E})+\mathrm{r}(\mathrm{A}-\mathrm{E})=\mathrm{n}$ 。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^2=A$ ，证明：$r(A)+r(A-E)=n$ 。