单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 是 3 阶矩阵，将 $A$ 的第1 列与第 2 列互换得到 $B$ ，再将 $B$ 的第 2 列加到第 3 列得到 $C$ ，则满足 $A Q= C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为（ ）
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
设 $A$ 是 3 阶方阵，将 $A$ 的第 1 列与第 2 列交换得到 $B$ ，再把 $B$ 的第 2 列加到第 3列得到 $C$ ，则满足 $A Q = C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为 。
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A$ 为 3 阶矩阵，将 $A$ 的第 2 行加到第 1 行、第 1 列与第 2 列对调、第 2 列的 2 倍加到第 3 列得到 $C =\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A =(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $\boldsymbol{n}$ 阶方阵，且 $A^2=A$ ，则 $\qquad$ ．
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}=\mathbf{0}$
$\text{B.}$ 若 $\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}$
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的第二列乘以 2 为矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 的 ________ 为 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{A.}$ 第二行乘以 2 ；
$\text{B.}$ 第二列乘以 2 ；
$\text{C.}$ 第二行乘以 $\frac{1}{2}$ ；
$\text{D.}$ 第二列乘以 $\frac{1}{2}$ ．
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A =\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right), f(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{2 n+1}$, 则 $f( A )=$
设 $A =\left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，则 $A ^9=$
已知 $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，求 $A ^n$
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 4\end{array}\right)$ ，则 $A ^*=$
设 $A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 6 & -4 \\ -1 & -3 & 2 \\ 3 & 9 & -6\end{array}\right]$ ，则 $A^{10}=$ $\qquad$ ．
若 $A =\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 则 $A ^4=$ $\qquad$
矩阵 $A =\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4\end{array}\right)$ 的最简形矩阵为
设 $A=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 0 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]$ ，则 $B^{50} A^{-1}=$ $\qquad$ .
若 $A =\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $A_{11}+A_{22}+A_{33}+A_{44}=$ $\qquad$ ．
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ \lambda & 1\end{array}\right)$, 求 $\boldsymbol{A}^2, \boldsymbol{A}^3, \cdots, \boldsymbol{A}^k$;
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)$, 求 $\boldsymbol{A}^4$.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr}3 & 1 \\ 1 & -3\end{array}\right)$, 求 $\boldsymbol{A}^{50}$ 和 $\boldsymbol{A}^{51}$;
设 $\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -3\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right), \boldsymbol{A}=\boldsymbol{a} \boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}$, 求 $\boldsymbol{A}^{100}$.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrrr}3 & 4 & 0 & 0 \\ 4 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2\end{array}\right)$, 求 $\left|\boldsymbol{A}^8\right|$ 及 $\boldsymbol{A}^4$.
已知 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 2\end{array}\right)$ 求 $A ^{2023}$.
化矩阵为最简形
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\
4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\
3 & 6 & -9 & 7 & 9
\end{array}\right) .
$$
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & -2\end{array}\right)$, 计算：（1） $|A| $ ;（2） $A^2$ ;（3） $A^{2023}$.
设 $A =\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ ，求 $A ^{10}$
设 $A =\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ ，求 $A ^{10}$ ．
设 $A =\left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，则 $A ^9=$ $\qquad$
已知 $A=\left(\begin{array}{lll}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)$ ，求 $A^n$ ．
已知向量 $\alpha=(1,-1,2)^T, \beta=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2},-1\right)^T$ ，记 $A=\alpha \beta^T$ ，求 $A^{2021}$ 。
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$ ，求 $A^n$ ．