单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设矩阵 $\left(\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right)$ 是满秩的, 则直线 $\frac{x-a_3}{a_1-a_2}=\frac{y-b_3}{b_1-b_2}=\frac{z-c_3}{c_1-c_2}$ 与线 $\frac{x-a_1}{a_2-a_3}=\frac{y-b_1}{b_2-b_3}-\frac{z-c_1}{c_2-c_3}$
$\text{A.}$ 相交于一点.
$\text{B.}$ 重合.
$\text{C.}$ 平行但不重合.
$\text{D.}$ 异面.
设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是 3 维向量空间 $R ^3$ 的一组基, 则由基 $\alpha _1, \frac{1}{2} \alpha _2, \frac{1}{3} \alpha _3$ 到基 $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _1$ 的过渡矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $R ^3$ 的两组基分别为 $\alpha_1=(1,1,1)^T, \alpha_2=(1,0,-1)^T, \alpha_3=(1,0,1)^T$ 和 $\beta_1=(1,2,1)^T$, $\beta_2=(2,3,4)^T, \beta_3=(3,4,3)^T$, 则基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵
已知向量组 $\alpha _1=\left(1, a, a^2\right)^{ T }, \alpha _2=(1,2,4)^{ T }, \alpha _3=(1,-2,4)^{ T }$ 线性相关，则 $a=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，$\alpha, \beta$ 为 $n$ 维行向量，$a, b, c$ 为常数．已知 $|\boldsymbol{A}|=a,\left|\begin{array}{cc}b & \alpha \\ \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}\end{array}\right|=0$ ，则 $\left|\begin{array}{cc}c & \alpha \\ \beta^{\mathrm{T}} & A\end{array}\right|=$ $\qquad$
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 7 & 9 & 11\end{array}\right)$ ，则秩 $R(\boldsymbol{A})=$ ________ ，齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解空间的维数等于 ________
设向量 $\alpha=(1,2,3), \beta=(4,5,6)$ ，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积为
与向量 $\alpha=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \beta=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ 均正交的一个单位向量为
解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是三维向量空间 $R^3$ 的一组基, $\beta_1=\alpha_1+t \alpha_2, \beta_2=\alpha_2+\alpha_3, \beta_3=\alpha_1+s \alpha_3$, 其中 $t, s$ 为参数, 证明: 当 $t+s \neq 0$ 时, $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 也是三维向量空间 $R^3$ 的一组基.
设 $A X=b$ 为非其次线性方程组, $r\left(A_{5 \times 4}\right)=3, \alpha, \beta, \gamma$ 为方程解, $\alpha=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)$,
$\beta+\gamma=\left(\begin{array}{l}3 \\ 5 \\ 6 \\ 9\end{array}\right)$, 求方程组通解。
已知平面 $\pi: x+2 y+3 z-7=0$ 上的直线 $L$ 过点 $A(0,2,1)$ ，且与直线 $L_1: \frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+1}{0}$ 垂直，求直线 $L$ 的方程．
在 $R ^3$ 中有两组基．
$$
\xi_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
2
\end{array}\right) .
$$
$$
\eta_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \eta_2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \eta_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right) .
$$
求：（1）由基 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 到基 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 的过渡矩阵；
（2）求 $\alpha =(1,3,0)^{ T }$ ．在 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 和 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 下的坐标．
在 $R^4$ 中．有一组自然基：$e_1=(1,0,0,0)^{ T }, e_2=(0,1,0,0)^{ T }$ ， $e_3=(0,0,1,0)^{ T }, e_4=(0,0,0,1)^{ T }$ ．另有一组基 $\beta _1=(2,1,-1,1)^{ T }, \beta _2=(0$ ， $3,1,0)^{ T } . \beta _3=(5,3,2,1)^{ T }, \beta _4=(6,6,1,3)^{ T }$ ．
求：（1）自然基到基 $\beta _1, \beta _2, \beta _3, \beta _4$ 的过渡矩阵。
（2）对两组基有相同坐标的非零向量．
在 $R ^n$ 中已知 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 与 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 为两组基，任一向量 $\alpha$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 下的坐标为 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^{ T }$ 。在基 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 下的坐标为 $\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)^{ T }$ ，它们之间的关系为
$$
y_1=x_1, y_2=x_2-x_1, y_3=x_3-x_2, \cdots, y_n=x_n-x_{n-1}
$$
求 $R ^n$ 中的基变换公式。
已知 $\alpha =(3,5,4), \beta =(-6,1,2), \gamma =(0,-3,-4)$ ，求 $2 \alpha +3 \beta$ $+4 \gamma$ ．
已知点 $A(3,5,7)$ 和点 $B(0,1,-1)$ ，求向量 $A B$ ，并求 $A$ 关于 $B$的对称点 $C$ 的坐标．
设 $\alpha , \beta , \gamma$ 均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但 $\alpha + \beta$与 $\gamma$ 共线， $\beta + \gamma$ 与 $\alpha$ 共线，试证 $\alpha + \beta + \gamma = 0$ 。
判断 $\alpha , \beta , \gamma$ 是否共面．
（1） $\alpha =(4,0,2), \beta =(6,-9,8), \gamma =(6,-3,3)$ ；
（2） $\alpha =(1,-2,3), \beta =(3,3,1), \gamma =(1,7,-5)$ ．
设 $\alpha = i + j , \beta = i - k$ ，求 $\alpha \cdot \beta , \alpha \times \beta ,| \alpha |$ 及 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角 $\theta$
设向量 $\beta$ 与 $\alpha=i-2 j+2 k$ 共线，与单位向量 $j$ 成锐角，且 $|\beta|=15$ ，求 $\beta$ ．
已知向量 $\gamma$ 垂直于向量 $\alpha =(1,2,1)$ 和 $\beta =(-1,1,1)$ ，并满足 $\gamma \cdot(i-2 j+k)=8$ ，求向量 $\gamma$ 。
设 $\alpha =(5,2,5), \beta =(2,-1,2)$ ，求 $\alpha$ 在 $\beta$ 上的投影向量及投影向量的长．
设 $\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha = 0$ ，证明 $\alpha , \beta , \gamma$ 共面．
已知平面过三点：$M_1(2,-1,3), M_2(0,-1,2), M_3(1,0,3)$ ，求此平面方程。
求过点 $A(4,0,-2)$ 和点 $B(5,1,7)$ 且平行于 $z$ 轴的平面方程．
设 $M_2(k)$ 是数域 $k$ 上所有 $2-$ 级方阵构成的线性空间。
（i） 证明：矩阵的转置是 $M_2(k)$ 上的线性变换。
（ii） 求出转置线性变换在基本矩阵 $E_{i j}$ 构成的基下的矩阵。
设 $R$ 为实数域，$V$ 是以 0 为极限的实数数列全体，即
$$
V=\left\{\left\{a_n\right\} \mid a_n \in R , \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0\right\}
$$
在 $V$ 中定义加法与数乘运算：$\left\{a_n\right\}+\left\{b_n\right\}=\left\{a_n+b_n\right\}, k\left\{a_n\right\}=\left\{k a_n\right\}, k \in R$ ，则 $V$ 构成实数域 $R$ 上的线性空间（不需要证明）．
请证明：$V$ 是无穷维的线性空间．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $n$ 维向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 正交，证明 $\|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\|^2=\|\boldsymbol{a}\|^2+\|\boldsymbol{b}\|^2$ ．