单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设矩阵 $\left(\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right)$ 是满秩的, 则直线 $\frac{x-a_3}{a_1-a_2}=\frac{y-b_3}{b_1-b_2}=\frac{z-c_3}{c_1-c_2}$ 与线 $\frac{x-a_1}{a_2-a_3}=\frac{y-b_1}{b_2-b_3}-\frac{z-c_1}{c_2-c_3}$
$\text{A.}$ 相交于一点.
$\text{B.}$ 重合.
$\text{C.}$ 平行但不重合.
$\text{D.}$ 异面.
设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是 3 维向量空间 $R ^3$ 的一组基, 则由基 $\alpha _1, \frac{1}{2} \alpha _2, \frac{1}{3} \alpha _3$ 到基 $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _1$ 的过渡矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$.
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $R ^3$ 的两组基分别为 $\alpha_1=(1,1,1)^T, \alpha_2=(1,0,-1)^T, \alpha_3=(1,0,1)^T$ 和 $\beta_1=(1,2,1)^T$, $\beta_2=(2,3,4)^T, \beta_3=(3,4,3)^T$, 则基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵
已知向量组 $\alpha _1=\left(1, a, a^2\right)^{ T }, \alpha _2=(1,2,4)^{ T }, \alpha _3=(1,-2,4)^{ T }$ 线性相关，则 $a=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，$\alpha, \beta$ 为 $n$ 维行向量，$a, b, c$ 为常数．已知 $|\boldsymbol{A}|=a,\left|\begin{array}{cc}b & \alpha \\ \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}\end{array}\right|=0$ ，则 $\left|\begin{array}{cc}c & \alpha \\ \beta^{\mathrm{T}} & A\end{array}\right|=$ $\qquad$
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 7 & 9 & 11\end{array}\right)$ ，则秩 $R(\boldsymbol{A})=$ ________ ，齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解空间的维数等于 ________