单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 服从参数为 1 的泊松分布，则 $\boldsymbol{E}(|\boldsymbol{X}-\boldsymbol{E} \boldsymbol{X}|)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{\mathrm{e}}$
$\text{D.}$ 1
已知 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体的 $N\left(\mu_1, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本， $Y_1, Y_2, \cdots Y_m$ 为来自总体的 $N\left(\mu_2, 2 \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，且两样本相互独立，记
$$
\begin{gathered}
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \bar{Y}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m Y_i, \\
S_1^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, S_2^2=\frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^m\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2
\end{gathered}
$$
则( )
$\text{A.}$ $\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n, m)$
$\text{B.}$ $\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1, m-1)$
$\text{C.}$ $\frac{2 S_1^2}{S_2^2} \sim F(n, m)$
$\text{D.}$ $\frac{2 S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1, m-1)$
设 $X_1, X_2$ 为来自总体 $\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，其中 $\sigma(\sigma>0)$ 是末知参数，若 $\hat{\sigma}=a\left|X_1-X_2\right|$ 为 $\sigma$ 的无偏估计，则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2 \pi}}{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{\pi}$
$\text{D.}$ $\sqrt{2 \pi}$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X \sim B\left(1, \frac{1}{3}\right), Y \sim B\left(2, \frac{1}{2}\right)$, 则 $P\{X=Y\}=$
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{2}{\pi}\left(x^2+y^2\right), & x^2+y^2 \leq 1 \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
求:
(1) 求 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 的协方差与方差;
(2) $X$ 与 $Y$ 是否相互独立?
(3) 求 $Z=X^2+Y^2$ 的概率密度.